Средняя арифметическая.

Средние величины
 Средней величиной называется
обобщающий показатель,
характеризующий типичный уровень
варьирующего количественного признака
на единицу совокупности в определенных
условиях места и времени.
 Объективность и типичность
статистической средней обеспечивается
лишь при определенных условиях
Первое условие
 Средняя должна вычисляться для
качественно однородной совокупности.
Для получения однородной совокупности
необходима группировка данных, поэтому
расчет средней должен сочетаться с
методом группировок.
Второе условие
 Для исчисления средних должны быть
использованы массовые данные.
 В средней величине, исчисленной на
основе данных о большом числе единиц
(массовых данных), колебания в величине
признака, вызванные случайными
причинами, погашаются и проявляется
общее свойство (типичный размер
признака) для всей совокупности.
 Средняя величина всегда именованная,
она имеет ту же размерность, что и
признак у отдельных единиц совокупности.
 Общие средние для однородной
совокупности должны дополняться
групповыми средними, характеризующими
части совокупности
Две категории средних
 степенные средние;
 структурные средние.
Степенные средние
 средняя арифметическая,
 средняя гармоническая,
 средняя квадратическая,
 средняя геометрическая.
Структурная средняя
характеризует состав статистической
совокупности по одному из варьирующих
признаков.
К этим средним относятся
 мода
 медиана.
Виды средних величин
различаются тем, какое свойство, какой
параметр исходной варьирующей массы
индивидуальных значений признака
должен быть сохранен неизменным.
Средняя арифметическая.
 Средней арифметической величиной
называется такое значение признака в
расчете на единицу совокупности, при
вычислении которого общий объем
признака в совокупности сохраняется
неизменным, т.е. - это среднее слагаемое.
Средняя арифметическая
простая.
 осредняемый признак называется
вариантой и обзначается
xi
 средняя величина из вариант
обозначается
 число вариант  частота -
x
n
f
Определить среднюю заработную плату
рабочих бригады.
Порядковый номер рабочего
Месячная зарплата, у.е.
1
493
2
561
3
609
4
718
5
850
6
894
7
901
8
1070
9
1203
10
1251
всего
8550
В данном примере вариантой является
зарплата каждого работника.
Общая сумма зарплаты - это фонд
заработной платы, который может быть
записан алгебраически:
x1  x2  x3  ...  xn   xi
где i = от 1 до n.
Расчет можно выполнить по
следующей формуле
x

x
n
i
8550

 855 у.е.
10
Вставленная функция в
EXCEL
AVERAGE ( )
Средняя арифметическая
взвешенная
 расчитывается, когда частоты не равны
между собой
xвз
xf


f
i i
i
 В этом случае совокупность сгруппирована
и представлена в виде ряда
распределения
Возрастной состав бригады рабочих
Возраст
x
26
24
21
23
Количество
человек
f
2
3
2
6
Средний возраст рабочих бригады
26  26  24  24  24  21  21
 23  23  23  23  23  23
x
 23,4
13
Или расчет по формуле средней взвешенной
26 * 2  24 * 3  21* 2  23 * 6
xвз 
 23,4 года
23 2 6
Расчет средней арифметической в
интервальном ряду, задача 8.
Группы рабочих по
количеству произведенной
продукции, шт., x
Число
середина
рабочих интервала,
,f
x'
3-5
10
4
5-7
30
6
7-9
40
8
9-11
15
10
11-13
5
12
Итого
100
-
Задача 8.
xвз
x' f


f
4 *10  6 * 30  8 * 40  10 *15  5 *12 750


 7,5 шт.
100
100
 Каждый рабочий за смену производит в
среднем 7,5 деталей
Свойства средней арифметической
1. сумма отклонений отдельных значений признака
от средней арифметической равна 0;
2. если от каждой варианты вычесть или к каждой
варианте прибавить какое-либо произвольное
постоянное число, то средняя уменьшится или
увеличится на это же число;
3. если каждую варианту разделить или умножить
на какое-либо произвольное число, то средняя
уменьшается или увеличивается во столько же
раз;
4. если все частоты разделить на какое-либо число,
то средняя не изменится. Это свойство дает
возможность абсолютное значение частот
заменять их удельными весами.
Свойство 1
Возраст
Количество
человек
Отклонение от
средней
x
f
x  x  f
26
2
5,231
24
3
1,846
21
2
-4,769
23
6
-2,308
итого
13
0
Свойство 2
Количество
Возраст
Возраст
человек
x
f
x+10=x’
26
2
36
24
3
34
21
2
31
23
6
33
итого
13
средняя
x’f
72
102
62
198
434
33,385
Свойство 3
Количество
Возраст
Возраст
человек
x
f
x/10=x’
26
2
2,6
24
3
2,4
21
2
2,1
23
6
2,3
итого
13
средняя
x’f
5,2
7,2
4,2
13,8
30,4
2,338
Свойство 4
Количество
Возраст
Возраст
человек
x
f
f/2=f’
26
2
1,0
24
3
1,5
21
2
1,0
23
6
3,0
итого
13
6,500
средняя
xf’
26
36
21
69
152
23,385
Средняя гармоническая
 является преобразованной средней
арифметической. Если по условиям задачи
необходимо, чтобы при осреднении
неизменной оставалась сумма величин,
обратных индивидуальным значениям
признака.
 Применяется тогда, когда необходимые
веса в исходных данных не заданы
непосредственно. Они могут входить
множителем в один из имеющихся
показателей.
Средняя гармоническая простая
n
xгар 
1

x
 Встроенная фукция в EXCEL
HARMEAN ( )
Например, автомобиль с грузом от
предприятия до склада ехал со скростью
40 км/час, а обратно - 60 км/час. Какова
средняя скорость автомобиля?
s
s
 Время поездок есть

x1
 тогда
x2
s s s s
  
x x x x
1
2
 Сократив все члены равенства на s,
получим
1 1 1 1
  
x x x x
1
2
Таким образом выполняется условие
гармонической средней.
2 1
1


отсюда
x 40 60
2
x
 48 км/час
1
1

40 60
Средняя гармоническая
взвешенная.
Применяется в тех случаях, когда известен
объем совокупности и групповая средняя.
Средняя гармоническая
взвешенная.
номер
цеха
средняя
зарплата
фонд
за
зарплаты
сентябрь
M = xf
x
1
208
27040
2
220
26840
3
340
28900
итого
-
324340
Средняя гармоническая
взвешенная.
фонд зарплаты всего
x
число рабочих
фонд зарплаты всего
x
фонд зарплаты цеха 1
фзпл ц 2 фзпл ц 3


средняя зарплата цеха 1 срзпл ц 2 срзпл ц 3
Средняя зарплата за сентябрь
x 
гар
M
M

x
27040  26840  28900
x 
 245,6
27040 26840 28900


208
220
340
гар
Правило мажорантности средних
xгарм  х геом  х ариф  х кв адр  х куб
x ариф
xгарм
2
25

 3,5
2
20


 2,86
1 1
7

2 5
3
3
2 5
3
xкуб 
 3 66,5  4,05
2