Двоичная арифметика

КАК ЛЮДИ
СЧИТАЛИ
Люди научились считать
еще в незапамятные
времена..
Сначала они просто
различали один предмет
перед ними или нет.
Если предмет был не
один, то говорили
«много».
Сначала говорили так: пять
пальцев третьего человека, восемь
пальцев второго и шесть пальцев
первого..
Записывали числа поначалу совсем
просто: делали зарубки на куске
дерева или кости.
Со временем потребовались знаки для
десятка десятков и так далее.Очень
наглядной была система таких знаков у
египтян: Вот как египтяне записывали
число 3 246:
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
НЕПОЗИЦИОННЫЕ
ПОЗИЦИОННЫЕ
От положения знака
в изображении числа
не зависит величина,
которую он
обозначает
Величина,
обозначаемая
цифрой в записи
числа, зависит от её
позиции
XXX= X+X+X
333 = 3•100+3 •10+3 •1
Система счисления – это способ представления чисел
и соответствующие ему правила действий над ними
РИМСКАЯ
НУМЕРАЦИЯ
У римлян были специальные обозначения не только
для чисел 1, 10, 100 и 1000, но и для чисел 5, 50 и
500. Римские цифры имели такой вид:
1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D и 1000 - M.
-
VI = 5 +1 = 6
IV = 5 – 1 =4
MCMXCVII = 1000 – 100 + 1000 – 10 + 100 +5 + 1 +1 = 1997
ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ
Основанием позиционной системы счисления (n) называется
количество используемых цифр.
основание
система
алфавит
n = 10
n=2
Десятичная
Двоичная
0123456789
01
n=3
Троичная
012
n=8
n = 16
Восьмеричная
01234567
Шестнадцатеричная 0123456789ABCDEF
10011012
36718
567FAD416
Вес цифры в числе
1111 = 1 · 103 + 1 · 102 + 1 · 101 + 1 · 100
11102 = 1 · 23 + 1 ·22 + 1 · 21 + 0 · 20
12213 = 1 · 33 + 2 ·32 + 2 · 31 + 1 · 30
36418 = 3 · 83 + 6 ·82 + 4 · 81 + 1 · 80
134n = 1 · n2 + 3 · n1 + 4 · n0
An = a k-1 · nk-1 + …+ a 1 · n1 + a 0 · n0
Двоичная система проста, так как
для представления информации в
ней используются всего два
состояния или две цифры. Такое
представление
информации
принято
называть
двоичным
кодированием
Двоичная система используется
для решения головоломок и
построения выигрышных стратегий
в некоторых играх.
ПОДУМАЙ И ОТВЕТЬ!
№1
Каков вес цифры 8 в десятичных числах:
6538;
8356;
87;
831?
№2
Какое минимальное основание должна
иметь система счисления, если в ней
могут быть записаны числа:
а) 10, 21, 201, 1201;
б) 403, 561, 125?
Перевод чисел
в двоичную СС
Для перевода целого числа из СС с
основанием 10 в СС с основанием 2
необходимо:
• Это число разделить на
2, полученное частное
вновь делят на2 и так до
тех пор пока последнее
частное не окажется
меньше 2. В результате
записать в одну строку
последнее частное и все
остатки, начиная с
последнего.
5310 = 1101012
Переведите в двоичную СС
58 97 103-
Для перевода правильной дроби из СС с
основанием 10 в СС с основанием 2
необходимо:
• эту дробь умножить на 2,
затем дробную часть,
полученного произведения
вновь умножить на 2 и так до
тех пор пока в дробной части
не окажутся все нули, либо не
будет достигнута заданная
степень точности. Целые
части, полученных
произведений взятые по
схеме сверху вниз, и дадут
результат перевода.
0,2510 = 0,012
Для перевода смешанной дроби из
одной СС в другую необходимо:
• представить эту дробь в виде суммы
целого числа и десятичной дроби, а
затем произвести перевод каждой части
отдельно по соответствующим правилам.
Рассмотрим пример:
Перевести 25,2510 в двоичную
СС
Сначала- переводим целую
часть
25 2
24 12 2
1 12 6 2
0 6 32
0 21
1
2510=110012
2
Затем- перевод дробной части
0,2510=0,012
Соединили целую и
дробную части и получили:
25,250010=11001,012
Маленькое упражнение
Переведите из десятичной СС в двоичную СС