Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Скалярное поле и его характеристики Лектор Белов В.М. 2010 г. §19. Скалярное поле ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть G – некоторая область в пространстве Oxyz [на плоскости xOy]. Говорят, что на G задано скалярное поле, если в каждой точке MG определена функция 3-х переменных u = f(M) [функция 2-х переменных z = f(M)]. Поведение скалярного поля характеризуют 1) производная по направлению; 2) градиент. 1. Производная по направлению Пусть z = f(x,y) определена в области DxOy , M0(x0,y0)D, s̄ – некоторый вектор. Пусть M(x0+x,y0+y) D , такая, что M 0 M ⇈ s̄̄ . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует и конечен z ( M 0 ) z(M ) z(M 0 ) lim lim M 0M 0 M 0 M M 0M 0 M 0M то его называют производной функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) по направлению вектора s̄ . Обозначают: f ( x , y ) z ( M ) 0 0 , 0 s s f ( x0 , y0 ) z ( M 0 ) , ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ z ( M 0 ) M 0M – средняя скорость изменения функции z = f(x,y) на отрезке M0M . z ( M 0 ) – скорость изменения функции z = f(x,y) lim M 0M 0 M 0M в точке M0(x0,y0) в направлении вектора s̄ . Так же как и для функции одной переменной доказывается, что z (M 0 ) 1) если 0 , то функция в точке M0(x0,y0) в направлеs нии вектора s̄ возрастает; z (M 0 ) 2) если 0 , то функция в точке M0(x0,y0) в направлеs нии вектора s̄ убывает; z ( M 0 ) 3) если 0 , то в направлении вектора s̄ функция не s изменяется. направление вектора s̄ – направление линии уровня функции, проходящей через точку M0 (вектор s̄ является касательным к линии уровня в точке M0). Замечание. Частные производные функции являются частным случаем производной по направлению. А именно: 1) f x ( M 0 ) – производная функции по направлению вектора i (направлению оси Ox); 2) f y ( M 0 ) – производная функции по направлению вектора j (направлению оси Oy). Пусть z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0). Тогда z ( M 0 ) f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y (x)2 (y)2 , где – бесконечно малая при ( x ) 2 ( y ) 2 0 Обозначим | M0M | = . Тогда x = cos , y = cos s y x (x) (y) , 2 2 где cos, cos – направляющие ко синусы вектора s̄ . M y M0 Следовательно, z ( M 0 ) f x ( x0 , y0 ) cos f y ( x0 , y0 ) cos x Разделив на | M0M | = и перейдя к пределу при 0, получим z ( M 0 ) lim lim f x ( x0 , y0 ) cos f y ( x0 , y0 ) cos M 0 M 0 M 0 M 0 z ( M 0 ) f x ( x0 , y0 ) cos f y ( x0 , y0 ) cos , s где cos , cos – направляющие косинусы вектора s̄ . Замечание. Аналогично определяется и обозначается производная по направлению для функции 3-х переменных u = f(x,y,z). Для нее получим u ( M 0 ) f x ( M 0 ) cos f y ( M 0 ) cos f z( M 0 ) cos , s где cos , cos , cos – направляющие косинусы вектора s̄. 2. Градиент ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Градиентом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) называется вектор с координатами f x ( x0 , y0 ) , Обозначают: gradz(M0). f y ( x0 , y0 ) . СВОЙСТВА ГРАДИЕНТА 1) gradz(M0) определяет направление, в котором функция в точке M0 возрастает с наибольшей скоростью. При этом | gradz(M0) | равен наибольшей скорости изменения функции в точке M0. 2) gradz(M0) перпендикулярен к линии уровня функции z = f(x,y), проходящей через точку M0. Замечание. Для функции 3-х переменных градиент определяется и обозначается аналогичным образом, и сохраняет все свои свойства. §20. Полезные теоретические сведения 1. Формула Тейлора для функции одной переменной Пусть y = f(x) дифференцируема в окрестности точки x0 . Тогда f(x0) = f (x0) x + 1 x , где 1(x0,x) – бесконечно малая при x 0. f(x0 + x) = f(x0) + f (x0) x + 1 x . Обозначим x0 + x = x , x = x – x0 и формула (1) примет вид: f(x) = f(x0) + f (x0) (x – x0) + 1 (x – x0) , где 1(x0,x) – бесконечно малая при x x0. (1) (2) Если y = f(x) n раз дифференцируема в окрестности точки x0 , то применим n раз формулу (2) к функции i и получим (3): ( n) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 )n 1! 2! n! n ( x x0 )n где n(x0,x) – бесконечно малая при x x0. Формулу (3) называют формулой Тейлора разложения функции f(x) по степеням (x – x0) (в окрестности точки x0). Слагаемое (n) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n 1! 2! n! называют многочленом Тейлора функции f(x) по степеням (x – x0). Слагаемое Rn = n (x – x0)n называют остаточным членом формулы Тейлора. Остаточный член Rn можно записать в нескольких формах: 1) Rn = n (x – x0)n = o((x – x0)n ) – форма Пеано; 2) если y = f(x) n + 1 раз дифференцируема в окрестности точки x0 , то Rn можно записать в форме Лагранжа : f ( n 1) (c) Rn ( x x0 )n 1 , (n 1)! где c – точка между x0 и x . Если в формуле Тейлора x0 = 0 , то она примет вид (4): f (0) f (0) 2 f ( n) (0) n f ( n 1) (c) n 1 f ( x) f (0) x x x x . 1! 2! n! (n 1)! Формулу (4) называют формулой Маклорена. Применение формулы Маклорена (Тейлора): 1) в приближенных вычислениях (значений функций, определенных интегралов и т.п.); 2) при нахождении пределов. 2. Формула Тейлора для функции n переменных Пусть y = f(x) n раз дифференцируема в окрестности точки x0 . Тогда d nf(x0) = f (n)(x0) (x)n . Если c – точка между x0 и x , то (0; 1) такое, что c = x0 + x . Следовательно, формулу (3) ( n) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 )n 1! 2! n! n ( x x0 )n можно записать в виде df ( x0 ) d 2 f ( x0 ) d n f ( x0 ) d n 1 f ( x0 x) f ( x ) f ( x0 ) . 1! 2! n! (n 1) ! Пусть z = f(x,y) n + 1 раз дифференцируема в некоторой окрестности U точки M0(x0,y0). Тогда, как и в случае функции y = f(x) справедлива формула df ( M 0 ) d 2 f ( M 0 ) d n f (M 0 ) f (M ) f (M 0 ) Rn , (5) 1! 2! n! где M(x0 + x,y0 + y)U d n 1 f ( x0 x, y0 x) Rn (n 1)! (0 1) и Rn = o(n) при (x)2 (y)2 0. Формулу (5) называют формулой Тейлора для функции z = f(x,y) в окрестности точки M0(x0,y0) (по степеням (x – x0), (y – y0) ). Слагаемое df ( M 0 ) d 2 f ( M 0 ) d n f (M 0 ) f (M 0 ) 1! 2! n! называют многочленом Тейлора функции f(x,y) в окрестности точки M0(x0,y0). Слагаемое Rn называют остаточным членом формулы Тейлора функции f(x,y) в окрестности точки M0(x0,y0). Аналогичный вид имеет формула Тейлора для функций большего числа переменных 3. Понятие квадратичной формы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен n переменных x1, x2 , …, xn в котором все члены имеют одинаковую степень, называется однородным или формой. ПРИМЕРЫ. 1) f(x1, x2 , x3) = 2x1 + 4x2 – 5x3 – однородный 1-й степени (линейная форма); 2) f(x1, x2) = 2x12 + x1x2 + 3x22 – однородный 2-й степени (квадратичная форма); 3) f(x1, x2) = x13 – x12x2 + x1x22 – 4x23 – однородный 3-й степени. Общий вид квадратичной формы: f(x1, x2 , …, xn) = a11x12 + a22x22 + … + annxn2 + + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … +2a1nx1xn + + 2a23x2x3 + 2a24x2x4 + … +2a2nx2xn + + … + 2an–1,nxn–1xn . Будем считать, что aij = aji . Тогда квадратичную форму можно записать в виде f ( x1 , x2 , , xn ) n aij xi x j i , j 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратичная форма f(x1, x2 , …, xn) называется положительно (отрицательно) определенной если f(x1, x2 , …, xn) > 0 [f(x1, x2 , …, xn) < 0] для любых, не равных одновременно нулю, значений переменных x1, x2 , …, xn . Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются знакоопределенными. Если квадратичная форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то она называется неопределенной. Симметрическая матрица из коэффициентов квадратичной формы, т.е. матрица вида a11 a12 a1n a a a 2n A 12 22 a a a nn 1n 2 n называется матрицей квадратичной формы. Главными угловыми минорами квадратной матрицы C = (cij) называются ее миноры вида c11 c12 c13 c14 c11 c12 c13 c21 c22 c23 c24 c11 c12 c11 , , c21 c22 c23 , è ò.ä. c31 c32 c33 c34 c21 c22 c31 c32 c33 c41 c42 c43 c44 ТЕОРЕМА 1 (критерий Сильвестра). 1) Квадратичная форма положительно определена все главные угловые миноры ее матрицы – положительные. 2) Квадратичная форма отрицательно определена знаки главных угловых миноров ее матрицы чередуются, начиная с минуса, т.е. a11 a12 a13 a11 a12 a11 0, 0, c12 a22 a23 0 è ò.ä. a12 a22 a13 a23 a33 4. Применение к исследованию функций n переменных на экстремум Пусть z = f(x,y) , D(z) = D xOy , M0(x0,y0)D . Пусть z = f(x,y) трижды дифференцируема в окрестности U точки M0 и M0 – критическая точка для z = f(x,y). Тогда 1) MU df ( M ) d 2 f ( M ) f (M ) f (M 0 ) 0 1! 0 2! R2 , 2 2 где R2 = o(2) при (x) (y) 0 ; 2) f x ( M 0 ) 0 , f y ( M 0 ) 0 d 2 f (M 0 ) f (M ) f (M 0 ) R2 , df(M0) = 0 и 2! 2 d f (M 0 ) f ( M 0 ) , 2! 1 ( M 0 )x 2 2 f xy (M 0 )xy f yy ( M 0 )y 2 ) . f (M 0 ) ( f xx 2 Так как d2f(M0) – квадратичная форма с матрицей ( M 0 ) f xy ( M 0 ) f xx ( M 0 ) f yy ( M 0 ) f xy получаем следующие достаточные условия экстремума функции 2-х переменных: 1) функция z = f(x,y) имеет в точке M0(x0,y0) максимум, если квадратичная форма d2f(M0) отрицательно определена, т.е. ( M 0 ) 0, f xx ( M 0 ) f xy ( M 0 ) f xx 0; f xy ( M 0 ) f yy ( M 0 ) 2) функция z = f(x,y) имеет в точке M0(x0,y0) минимум, если квадратичная форма d2f(M0) положительно определена, т.е. ( M 0 ) 0, f xx ( M 0 ) f xy ( M 0 ) f xx 0. ( M 0 ) f yy ( M 0 ) f xy