Генеральные методы решения уравнений Костина О.А. учитель высшей категории

Генеральные методы
решения уравнений
Костина О.А.
учитель высшей категории
МОУ ЛАП № 135
Г. Самара
Функционально-графический
метод решения
уравнений
Функционально-графические
методы
 Графический
метод.
 Использование ограниченности
функции.
 Использование монотонности
функции.
Подготовили ученики 11 класса
Морозов Л., Рахманов Д., СофинскийД.
Графический метод
Функциональный метод
Обычно
используется для
уравнений, содержащих разные
функции (например, 5x=ctg(x))
Основан на
использовании
свойств функции,
обычно
применяется для
функций, построение графиков
которых
затруднительно
Графический метод решения уравнения
f(x)=g(x) заключается в
1)упрощении
функций f(x)
и g(x) (если
возможно)
2)построении
графиков
функций
y=f(x) и y=g(x)
3)нахождени
и точки
пересечения
этих
графиков
4)корнем
уравнения
будет
абсцисса
точки
пересечени
я
По рисунку определите корень
уравнения f(x)=g(x):
y= f(x)
1
2
y = g(x)
Использование ограниченности
функции
Составили ученики 11 класса
Хорунжев А., Жиляков В, Заворотков А
Метод мажорант.
Если на множестве Ψ наибольшее
значение одной из функций y=f(x),
y=g(x) равно А и наименьшее значение
другой функции тоже равно А, то
уравнение f(x)=g(x) равносильно на
множестве Ψ системе уравнений:
g(x)= Ψ
f(x)= Ψ
Когда применяется
в обеих частях уравнения
стоят функции разного
в одной части
уравнения
вида;
функция, ограниченная
сверху,
.
а в другой – ограниченная
снизу;
в одной части уравнения стоит
функция, ограниченная сверху
или снизу, а в другой –
конкретное число
Пример
1)Найдем область значений функций
и
:
Е(f)=[0;+∞) и Е(g)=(-∞;0].
2)Из Е(f) и Е(g) делаем вывод, что
;
Ответ: х=0.
cos22xx  x1,2  8x  17
cos
(cos
x 24)x2  (1x14. ) 2  1
cos 2x  x  8x  17
2
cos 2x  ( x  4)  1
2
cos 2x  1, (1)

2
( x  4)  1  1.(2)
Х=4
2
log 3 ( x  4 x  13)  cosx  sin
2
log 3 ( x  4 x  13)  2
И
2
x  4 x  13  9
log 3 9  2
x
4
к функция
у = log t
возрастающая
,т
cosx  sin
• так как
cosx  1 и  sin
x
4
x
4
2
1
log ( x 2  4 x  13)  2
 3

x
 cosx  sin 4  2.
• Первое уравнение системы имеет только
один корень х=-2. Подставляя это
значение во второе уравнение получаем
верное числовое равенство
 2
cos(2 )  sin
 11  2
4
Ответ: х=-2.
Ответ: х=-2.
Применима ли теорема для решения
данных уравнений:
1. x²+100 = cos x,
2. 48-x² = 2cos x,
3. x²+3 = cos x+2,
4. |x|+14 = 5sin x,
5. cos x = |x|+1,
6. -cos 7πx = x²-6x+10.
Решение уравнения № 3.
x  3  cos x  2,
2

x  1  1,
2
x  1  cos x  
cos
x

1
;

 x0
2
Решение уравнения №5
cos x= |x|+1.
Решение.
cos x  x  1, 
 x  1  1,
 x0

cos x  1;
Решение уравнения № 6
-cos 7πx= x2-6x+10.
Решение.
2
x  6 x  10   cos 7x 
 x  6 x  10  1,
 x  3.

 cos 7x  1;
2
Решить уравнение

x2-6x+10= |cos π/3
3 x|.
Решение.
 x 2  6 x  10  1,


2
x  6 x  10  cos x  
 x  3.

3
 cos 3 x  1;
Использование мрнотонности
• Составили ученики 11 класса
• Колушев А, Антошин А., Леонтьев В.
• Если одна из функций(F(x)) убывает, а другая
(G(x))возрастает на некоторой области
определения, то уравнение F(x)=G(x) имеет
не более одного решения.
Порядок решения уравнения функциональным методом:
Определение свойства функции
Нахождение ОДЗ или
промежутков монотонности
функции (в зависимости от
свойства функции)
Нахождение корня подбором(1 свво), решение системы уравнений
(2 св-во, см. пред. слайд)
Но: при решении системы нужно
также найти ОДЗ, иначе:
Возникнет посторонний
корень!
Решить уравнение
log 1 x  x  4
3
Решение:
область определения данного уравнения x>
Исследуем на монотонность функции
f ( x )  log 1 x
.
3
и
g ( x)  x  4
f ( x )  log 1 x
3
и
g ( x)  x  4
• Первая из них –убывающая (так как это логарифмическая функция с основанием
больше нуля, но меньше единицы), а вторая
– возрастающая (это линейная функция с
положительным коэффициентом при х).
Подбором легко находится корень уравнения
х=3,
который является единственным решением
данного уравнения.
• Ответ: х=3.
Использование монотонности функции.
От уравнения вида
h(f(x))=h(g(x))
переходим к уравнению вида
f(x)=g(x)
 При
монотонности функции
2 k 1
f(x)
2 k 1
 g(x)
f(x)=g(x)
Пример:
(2 x  3)  (5x  9)
9
2x+3=5x-9
-3x=-12
x=4
Ответ: 4
9
 lg
( x+3) = lg 5x
x+3 = 5x
5
x4
5
X+4 = 4x
4x
Ошибки
sin (4x+π/6) = sin 3x
4x+π/6 = 3x
НЕВЕРНО!(функция периодическая)
(2 x  7)  (5 x  12)
4
4
2x + 7 = 5x -12
НЕВЕРНО!(четная степень)
Методы решения функциональных
уравнений
Дано уравнение:
f(g(x)) = f(h(x)).
Теорема. Если функция y = f(x) – возрастающая
(или убывающая) функция на области
допустимых значений уравнения f(g(x)) = f(h(x)),
то уравнения f(g(x)) = f(h(x)) и g(x)=f(x)
равносильны.
(2 х  1)(1  (2 х  1) 2  7  х(1  х 2  7  0
(2 х  1)(1  (2 х  1)  7   х(1  х  7
2
2
Расссмотрим функциональное уравнение f(2x+1) = f(-x),
Где f(x) = f(
)
х(1  х 2  7
Найдите производную.
Определите её знак.
 Т.к.
производная всегда положительная,
то функция возрастающая на всей
числовой прямой,то мы переходим к
уравнению
 2х+1 = - х
 Х = - 1/3.
Решите уравнение
х6 - |13 + 12х|3 = 27соs х2 - 27соs(13 + 12x).
Решение:
1)уравнение приводится к виду
х6 - 27соs x2 = |13 + 12x|3 - 27соs(13 + 12x),
f(x2) = f(13 + 12x) ,
где f(t) = |t|3-27соst;
2)Функция f - четная и при t > 0 имеет
следующую производную
f’(t)=
 2
3t  27 sin t  0,

3t 2  27 sin t  0,

0  t  3, поэтому f'(t)> 0 при всех
t >0
t0
Следовательно, функция f возрастает на
положительной полуоси, а значит, каждое
свое значение она принимает ровно в двух
симметричных относительно нуля точках.
3)Данное уравнение равносильно
следующей совокупности:
X2 = ±(13+12x):
x 1x 130,

 x  6 23.
Ответ: -1, 13, -6±π/23.