Линейные дифференциальные уравнения второго и высших

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная
независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения
n-го порядка - общее решение линейного однородного дифференциального уравнения - формула Остроградского –
Лиувилля - теорема о понижении порядка - структура решения линейного неоднородного дифференциального
уравнения - метод Лагранжа вариации произвольных постоянных – пример }
Линейное дифференциальное уравнение n - го порядка имеет вид
y(n)+p1(x)y(n-1)+….+ pn-1(x)y’+pn(x)y = f(x) , где y – искомая функция, а pk(x) и
f(x) – заданные функции, определенные и непрерывные на некотором
отрезке [a,b].
При f ( x )  0 уравнение называется неоднородным,
при f(x) = 0 – однородным.
Общим решением уравнения является функция y = j(x, C1, C2, ……, Cn ) ,
зависящая от n произвольных постоянных и обращающая данное
уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных.
Частное решение получается при закреплении постоянных C1 , C2 , … ,Cn ,
получаемое с использованием начальных условий.
Если функция f - правая часть дифференциального уравнения
y(n) = f(x,y,y’,…,y(n-1))
является непрерывной в некоторой замкнутой (n+1) - мерной области D
пространства: oxyy’,…,y(n-1) и имеет в этой области ограниченные частные
производные по каждому из аргументов функции f , то каждой внутренней
точке P0 (x0,y0,y’0,….,y0 (n-1)) области D соответствует, и притом единственное,
решение y = j(x), удовлетворяющее заданным начальным условиям
y = y0, y’ = y’0 , ….. , y(n-1)0
при
x = x0
т.е. j(n)(x)= f(x, j(x), j’(x), ….., j(n-1)(x) ); j (x0) = y0, ……., j(n-1)(x0) = y(n-1)0
Введем линейный дифференциальный оператор
dn
d n 1
d
L 

P
(
x
)





P
(
x
)
 Pn ( x )
1
n 1
dx
dx n
dx n 1
n
n 1
d y
d y
dy

P
(
x
)





P
(
x
)
 Pn ( x ) y
1
n 1
n
n 1
dx
dx
dx
Дифференциальные уравнения запишутся как L( y )  f ( x ) или L( y )  0 .
L( y ) 
Однородное линейное уравнение допускает нулевое решение.
Это (тривиальное) решение соответствует нулевым начальным условиям.
Тривиальное решение однородного уравнения: y  0  L( y  0 )  0
Если y1 (x) является решением неоднородного уравнения, то L( y1 )  f ( x )
Оператор L обладает свойствами линейности и линейной комбинации
L( u  v )  L( u )  L( v )
L( u )  L( u )
L( 1 u1       k uk )  1 L( u1 )       k L( uk )
Теорема - о частных решениях однородного линейного уравнения
Любая линейная комбинация частных решений линейного однородного
дифференциального уравнения также является частным решением этого
уравнения
Доказательство
L( y1 )  0 ,    , L( yk )  0 ,  L( 1 y1       k yk )  0      0  0
Теорема - о частных решениях неоднородного линейного уравнения
Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения
представляет собой сумму двух функций и если известны частные решения
уравнений с каждым из слагаемых в правой части, то сумма этих частных
решений есть частное решение исходного дифференциального уравнения
Доказательство
L( y )  f ( x )
f ( x )  f1 ( x )  f2 ( x )
L( y1 )  f1 ( x ), L( y2 )  f2 ( x )
L( y1  y2 )  L( y1 )  L( y2 )  f1 ( x )  f2 ( x )  f ( x )
Теорема - о связи частных решений неоднородного и однородного
линейных уравнений
Разность любых двух частных решений неоднородного линейного
дифференциального уравнения есть частное решение соответствующего
(с той же левой частью) однородного линейного уравнения
Доказательство
L( y2  y1 )  L( y2 )  L( y1 )  f ( x )  f ( x )  0
Понятие линейной независимости частных решений рассмотрим на
примере однородного дифференциального уравнения второго порядка
d2
d
L 

p
(
x
)
 q( x )
L( y )  0
2
dx
dx
Две функции y1 и y2 и называются линейно независимыми на некотором
интервале, если их линейная комбинация не обращается в ноль ни каких
значениях коэффициентов (не обращающихся одновременно в ноль), т.е.
если y1  y2  0 (   0    0 )
В противном случае функции называются линейно зависимыми.
Две функции y1 и y2 и называются линейно независимыми
на некотором интервале, если их отношение на этом
интервале не является постоянным y1 / y2  const
В противном случае функции называются линейно зависимыми.
@
Решить дифференциальное уравнение второго порядка:
d 2y
y 0
2
dx
Решение
y1  sin x
sin x
 const
cos x
y2  cos x
 sin x   cos x  0
Y  C1 sin x  C2 cos x
Определителем Вронского называется функциональный определитель
y1 y 2
W ( y1 , y 2 ) 
y1 y2
W ( y1 , y2 )  y1 y2  y1y2
Две функции y1 и y2 и являются линейно независимыми на некотором
интервале, если их вронскиан на этом интервале нигде не обращается в
ноль т.е. если:
y1 y 2
W ( y1 , y 2 ) 
0
y1 y2
В противном случае функции называются линейно зависимыми.
Для линейного однородного дифференциального уравнения n- го порядка
вронскиан запишется в виде
W ( y1 , y2 ,  , yn ) 
y1
y1
y1
y2
y2
y2


y1( n 1 )
y2( n 1 )






yn

yn

yn


 yn( n 1 )
Если W ( y1 , y2 ,  , yn )  0
то общее решение однородного линейного уравнения есть комбинация
линейно независимых частных решений
Y  C 1 y1  C 2 y 2      C n yn
@
Решить ЛОДУ 2 с заданными начальными условиями :
d 2 y 1 dy
y

 2 0
2
x dx x
dx
y ( 1 )  0 , y (1)  1
Решение
x
1
C2
1
y1  x , y 2 
 Y  C1 x 
 W ( x, ) 
x
x
x
1
C
C
C1 x  2
0
C1  22
1
x x 1
x x 1
C1  C2  0
1
1


 C1  , C 2   

C

C

1
2
2
2
 1
1
x  2  0
1
x
 2
x
x
1
Y 

2 2x
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
имеет два линейно независимых частных решения y1 и y2 .
d 2y
dy

p
(
x
)
 q( x ) y  0
2
dx
dx
Если известно одно из частных решений – y1 , то второе можно найти по
формуле Остроградского - Лиувилля
~
y 2  y1 
dx
x
 p ( x ) dx
2 x0
y1 e
Y  C1 y1  C 2 y~2
@
Решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка :
d 2 y 1 dy
y

 2 0
2
x dx x
dx
Решение
y1  x
y~2  x 
dx
1
2  x dx
x e
dx
dx
1 
1

 x  2 ln x  x  3  x  

2 
2x
x
x e
 2x 
Y  C1 x 
C2
x