4. Линейные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.

4. Линейные уравнения
первого порядка и
приводящиеся к ним.
Дифференциальное
уравнение называется
линейным, если оно линейно
(т.е. первой степени)
относительно искомой
dy
функции y и ее производной dx
Общий вид линейного
уравнения первого порядка
,
y  p ( x) y  g ( x)
Если , уравнение называется
однородным, в противном
случае неоднородным.
Способ решения линейного
однородного уравнения.
Линейное однородное
уравнение является
уравнением с
разделяющимися
переменными.
1-й способ подстановки.
Решение уравнения
,
y  p( x) y  g ( x) , ищем в виде
y  u ( x) ( x) , где  (x) может быть
выбрана произвольно, а
u (x) новая искомая функция.
Второй способ вариации
произвольной постоянной.
Этот способ состоит в том, что
решение неоднородного
уравнения ищем следующим
образом.
Находят решение
соответствующего однородного
уравнения y  p( x) y  0.
,
Общее решение имеет вид
  p ( x ) dx
y  Ce
, но это решение не
будет решением
неоднородного уравнения.
Решение неоднородного
уравнения ищем в виде

y  C ( x )e
 p ( x ) dz
p ( x ) dx
  p ( x ) dx



y    g ( x )e
dx  C e


Теорема.
Если известно одно частное
решение линейного уравнения
y  y1 ( x ) , то общее решение можно
найти по формуле

y  y 1 ( x )  C1 e
 p ( x ) dx
Теорема.
Если известны два частных решения
линейного дифференциального
уравнения y1 ( x) и y 2 ( x ) не
пропорциональные между собой (т.е.
y1
   coust ), то общее решение можно
y2
найти непосредственно по формуле
y  y1 ( x)  C( y 2 ( x)  y1 ( x)).
Уравнение вида
,
n
y  p( x ) y  g ( x ) y , где n  const ,
называется уравнением
Бернулли.
При n=0 уравнение
Бернулли переходит в
линейное уравнение.
При n=1 уравнение
является уравнением с
разделяющимися
переменными
( самостоятельно).
Пусть n  0 и n  1.
Метод решения уравнения
Бернулли.
Уравнение Бернулли
подстановкой приводить к
линейному
dz
1 dy
 (1  n ) n
dx
y dx
dy
n
n
 p( x ) y  g ( x ) y : y  0
dx
1 dy
1
 p( x ) n 1  q( x )
n
y dx
y
Замечание.
Любой из способов решения
линейного дифференциального
уравнения может быть применен к
уравнению Бернулли
непосредственно, минуя
промежуточный этап – сведение
последнего к линейному виду.