случайной величины x.

Элементы теории вероятностей (1)
Вероятность события:
Ni
Ni
Pi  lim

N  N
N
N – число опытов
Ni – число опытов, в которых был результат i
Сумма вероятностей всех возможных результатов:
Ni
Pi  
1

N
i
i
Теорема об умножении вероятностей
1) Вероятность того, что в результате N опытов будет
получен результат i:
N
Pi 
Ni
2) Вероятность того, что будет получен результат k:
Nk
N ki
Pk 

N
Ni
Nki – число опытов, в которых после результата i был
получен результат k.
N ki  Pk N i
3) Вероятность того, что в результате N опытов будет
получен сначала результат i, а потом результат k:
N ki
Ni
Pki 
 Pk
 Pk Pi
N
N
Теорема о сложении вероятностей
Вероятность того, что в результате N опытов будет
получен или результат i, или результат k:
Pi
или k
Ni  Nk

 Pi  Pk
N
Функция распределения f(x) случайной
величины x.
Случайная величина x изменяется непрерывно.
Px – вероятность попадания величины x в интервал x
Функция распределения:
Px
dPx
f ( x )  lim

x 0 x
dx
f(x) – плотность вероятности (вероятность случайной величины
оказаться в единичном интервале вблизи x)
Функция распределения f(x) случайной
величины x.
I. Вероятность того, что случайная
величина окажется в пределах от
x до x+dx:
f ( x)
dPx  f ( x ) dx
II. Вероятность того, что случайная
величина x попадёт в интервал от x1
до x2:
P 
x x  dx X
f ( x)
x2
 f ( x ) dx
x1
x1
x2
X
Условие нормировки функции
распределения случайной величины
Вероятность того, что случайная
величина х может принять хотя бы
какое-нибудь значение (из всех
возможных) равна единице:
 f ( x ) dx
f ( x)
1
по интервалу всех возможных
значений x.
0
X
Вычисление средних значений
1) х – изменяется дискретно
1
x 
N
N
i
xi 
i
Px
i
i
i
pi – вероятность того, что величина x имеет значение xi.
2) х – изменяется непрерывно
x 

xdP
по интервалу
всех возможных
значений х


xf ( x ) dx
по интервалу
всех возможных
значений х
f(x) – функция распределения величины x.
Распределение Максвелла (1)
Вероятность того, что молекула будет иметь
проекцию скорости в интервале от vx до vx+dvx:
( x)
dN ( v x )
dP ( v x ) 
  ( v x ) dv x
N
 ( v x )- функция распределения vx
12
 m 
( vx )  

 2 kT 
 mv x2 
exp  

 2 kT 
v x v x  dv x v x
Распределение Максвелла (2)
Вероятность того, что молекула имеет проекции скорости в
интервалах (vx, vx+dvx), (vy, vy+dvy), (vz, vz+dvz):
vz
dP ( v x , v y , v z ) 
v
 dP ( v x )  dP ( v y )  dP ( v z ) 
 f ( v) dv x  dv y  dv z
vy
vx
 m 
f ( v)  

 2 kT 
3 2
 mv 
exp  

 2kT 
2
Распределение молекул по модулю
скорости
Вероятность того,
скорости молекул
интервале (v, v+dv):
vz
v
dv
что модуль
заключен в
dP  f ( v ) 4 v 2 dv
Относительное число молекул,
модули скорости которых лежат в
vy
0
интервале от v до v+dv:
dN
 F ( v) dv
vx
N
Функция распределения Максвелла по модулю скорости:
3 2
2


m
mv


2
F( v)  4 
v exp  


2

kT
2
kT



