Решение задачи Коши операционным методом Функция-оригинал Операционное исчисление — один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При решении операционным методом задача интегрирования линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к задаче о решении алгебраического уравнения. Функцией-оригиналом называется функция f(x) для которой справедливо: f(x) непрерывна при неотрицательных x, за исключением, быть может конечного числа точек, f(x)=0 при x<0, существуют такие постоянные M и a, что |f(x)|≤Meax при всех неотрицательных x. Преобразование Лапласа Преобразованием Лапласа функции f(x) называется функция Функция F(p) называется изображением функции f(x), а функция f(x) - оригиналом для F(p). Отыскание изображения и оригинала Найти изображения заданных функций-оригиналов f(x)=ax и f(x)=e-x. Для проверки правильности вычислений выполним обратное преобразование. Найдем оригиналы заданных изображений F(p)=a/p2 и F(p)=1/(p+1). Изображения функций Записать изображения элементарных функций 1 Sin(at) Cos(at) Cos a(t-t0) e-at e-atsin(bt) e-atcos(bt) tnf(t) te-at t sin(at) t cos(at) tn f(t)/t σ0(t-h) f(n)(t), f(0)=… …=f(n-1)(0)=0 Основные свойства преобразования Лапласа Основные свойства преобразования Лапласа, используемые при решении дифференциальных уравнений следующие: оригинал восстанавливается по изображению единственным образом, с точностью до значений в точках разрыва - теорема единственности; если F(p) и G(p) - изображения соответственно для f(x) и g(x), то изображением для af(x)+bg(x) является aF(p) +bG(p) линейность преобразования Лапласа; изображением для производной f(n)(x) является функция pnF(p)-pn-1 f(0)-pn-2f'(0)-…-pf(n-2)(0)-f(n-1)(0) - изображение производных; если F(p) изображения для f(x), то для любого a>0 изображением для f(x-a) является e-apF(p) - теорема запаздывания. Алгоритм решения задачи Коши Рассмотрим задачу Коши: y(n)+a1y(n-1)+…+any=f(x); y(0)=y0, y’(0)=y1, …, y(n-1)(0)=yn-1; a1, a2, …, an постоянные. Алгоритм решения задачи Коши для уравнений операционным методом состоит в следующем. Обозначим Y(p) и F(p) изображения для y(x) и f(x). Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим: (pnY(p)-pn-1y0-…-yn-1)+a1(pn-1Y(p)-pn-2y0-…-yn-2)+…+anY(p)=F(p) или, A(p)Y(p)+B(p) = F(p), где A(p) и B(p) - многочлены. Отсюда Y(p)=(F(p)-B(p))/A(p) и искомое решение задачи Коши y(x) является оригиналом для Y(p). Решение задачи Коши Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Решим операционным методом задачу Коши x''+4x=cos 2t, x(0)=1, x'(0)=-1. Проверим правильность решения. Задание Решить операционным методом задачу Коши 1. 2. 3. 4. 5. 6. x''+4x=2, x0=x'0=0 x''-x=1/(1+et), x(0)=x'(0)=0 x'+x=e-2t, x(0)=1 x''+x=1, x(0)=0, x'(0)=1 x''+2x'-3x=e-t, x(0)=0, x'(0)=1 x'''+2x'=t sin t, x(0)=0, x'(0)=0