УДК 517.53 О ФОРМУЛЕ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ

УДК 517.53
О ФОРМУЛЕ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ
ЧАСТИ И ФОРМАЛЬНОЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Черепанова Ю.Л.
научный руководитель д-р физ.-мат. наук Шлапунов А.А.
Пусть ℝ2 – плоскость с координатами x  ( x1 , x2 ) , ℂ – комплексная плоскость с
переменной z  x1  ix2 , D – ограниченная область в комплексной плоскости с кусочногладкой границей D . Обозначим через 𝒪(D) пространство голоморфных в области D
функций, а C0,λ( D ) – пространство функций класса Гельдера, что означает выполнение

условия: f ( z )  f ( )  CD, f z   , где СD, f – константа, зависящая от D, f . Так же
обозначим через ∆ оператор Лапласа:
2
2

в ℝ2, и через  оператор Коши Римана:
2
2
x1 x2
1 
 
i

 в ℂ. Напомним, что функция u(x1,x2) называется гармонической в D, если u
2  x1
x2 
имеет в D непрерывные частные производные до второго порядка включительно и
удовлетворяют уравнению Лапласа ∆u=0. Две гармонические функции u(x1,x2), v(x1,x2)
называются сопряженными друг к другу, если они связаны условиями Коши-Римана в D:
 v  u

0

 x1 x2

 u   v  0
 x1 x2
В работе рассмотрена задача:
Задача 1. Пусть дана функция g  C 0, ( D) и u0  C 1, (D ) . Найти f  C 1, ( D ) такую,
что :
 f  g в D

Re f  u0 на D
Принадлежность f классу C1, ( D) следует из леммы:
Лемма. Если g  C 0, ( D) , тогда f ( z ) 
1 g ( )d  d
1, 
принадлежит C ( D) и

2 i D
 z
удовлетворяет  f  g .
Задачу 1 можно свести к однородной задаче, воспользовавшись формулой Коши-Грина:
1
f ( )d
1  f ( )d  d  f ( z ) z  D


2 i D   z
2 i D
 z
0 z  D
Т.к.
1 1
фундаментальное решение оператора Коши Римана, то выполнено:
2   z
1  F ( )d  d
1 g ( )d  d

 F , где F - частное решение задачи 1.

2 i D
 z
2 i D
 z
Тогда f  F  f , и задача 1 примет вид:
 f  0 в D

Re f  u0  Re F
на D
Известно, что u0  С1, ( D ) и для F будет выполняться лемма, значит Re f  C 1, ( D ) . Тогда
задача 1 может быть сведена к следующей задаче:
Задача 2. Пусть f  C 1, ( D ) ∩𝒪(D). Восстановить f ( z ) в каждой точке z  D , зная
значение действительной части u функции f на D .
Решение задачи 2 основывается на теоремах:
Теорема 1. Для всякой функции u, гармонической в односвязной обрасти D, можно
найти сопряженную с ней гармоническую функцию v, которая определяется с точностью
до константы.
Теорема 2. Если даны функции
g  C 0, ( D) в D
и u0  C 1, (D ) на D , то
существует единственная функция f  C 1, ( D ) , удовлетворяющая условиям
 f  g в D

Re f  u0 ( z ) на D ,
Im f ( z )  c
0

где z0 D - фиксированная точка.
Обозначим через PD ( y, w) ядро Пуассона задачи Дирихле для оператора Лапласа в
области D. По определению PD ( y, w) =
G ( y , w)
, где G ( y, w) - функция Грина задачи
nw
Дирихле для области D , которая удовлетворяет следующим условиям:
1
ln y  w  g ( y, w)
2
, где g ( y, w) гармоническая в D и непрерывна по y в D .
2. при каждом w  D удовлетворяет граничному условию G ( y, w) yD  0
1. при каждом w  D она представляется в виде G ( y, w) 
Тогда из теоремы нетрудно получить следующее утверждение:
Следствие 1. Пусть z0  D – некоторая (произвольная) точка из D . Тогда для
функции f  C 1, ( D ) с вещественной частью Re( f )  u на D и условием  f  g
справедливо представление в виде:
1 g ( )d  d
f ( z )   u( w)TD ( z, w)ds(w) 
, z  D,
2 i D
 z
D
где
P ( y, w)
P ( y, w)
Т D ( z , w)   PD  i  ( D
dy1  D
dy2 )
y2
y1
 ( z0 , z )D
 1  f ( )d  d 
u  u0  Re 
   z 
 2 i D
w  ( w1 , w2 ) – переменные на плоскости
ℝ2,    1  i 2 и   1  i 2 –
y  ( y1 , y2 ) ,
переменные на плоскости ℂ,  ( z0 , z ) – какая-нибудь гладкая кривая в D, соединяющая
точки z0 и z, и g - функция из класса C 0, ( D) .
Для круга решение задачи можно выписать явно.
Пример. Рассмотрим область D – круг с центром в начале координат и радиуса
f
 g и значение действительной части u0 в круге функции f
R>0. Известны производная
z
на окружности D , где g  C 0, ( D) , f  C 1, ( D ) и u0  С1, (D ) . Нужно восстановить
функцию во всех точках круга.
Отождествляя z  w1  iw2 из D, получаем решение в виде:
 1  f ( )d  d
R 2  z  2i ( zw  zw) 
f ( z) 
 u0 ( w)  Re 
2

  z
4 R w  R
zw
 2 i D

1 g ( )d  d

2 i D
 z
1
2

  ds( w)

Список литературы:
1.
Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Издательство : Лань,
2004. 336 с.
2.
Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории
функции комплексного переменного . Москва : Наука 1982. 488 с.
3.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Москва: Наука
1981. 512 с.
4.
Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по
теории функции комплексного переменного. Физматлит, 2002. 312 с.
5.
Tutschke W. Vorlesungen uber partielle Differentialgleichungen.
Klassische, functionalanalytische und komplexe Methoden. Leipzig: Teubner-Texte zur
Mathematik, 1978. 193 s.