Использование пакета Mathcad при выполнении лабораторных

Тема « Решение задачи Коши операционным методом»
Операционное исчисление – один из методов математического анализа,
позволяющий в ряде случаев с помощью весьма простых средств решать
сложные
математические
задачи,
например,
задачу
интегрирования
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
При решении операционным методом задача интегрирования линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к
задаче о решении алгебраического уравнения.
Функцией-оригиналом называется
функция f(x)
для
которой
справедливо:
 f(x) непрерывна при неотрицательных x, за исключением,
быть может, конечного числа точек,
 f(x)=0 при x<0,
 существуют такие постоянные M и a, что f x  Me ax при
всех неотрицательных x.
Преобразованием
Лапласа функции f(x)
называется
функция

F  p    e  px f x dx .
0
Функция F(p) называется изображением функции f(x), а функция f(x) оригиналом для F(p).
ПРИМЕР 1. Отыскание изображения и оригинала.
Найдем
изображения
заданных
функций-оригиналов
f(x) = ax и f(x) = exp(-x). Для проверки правильности вычислений выполним
обратное преобразование.
Найдем оригиналы заданных изображений F(p) = a/p2 и F(p) = 1/(p+1).
a  t laplace t 
a
Для того чтобы вычислить изображение, в меню
2
Symbolics выберите операцию laplace, поставьте
s
e
t
laplace 
запятую, после которой укажите имя переменной, в
1
нашем случае это t, и щелкните курсором вне рамки
s1
или нажмите клавишу Enter.
Замечание: можно не указывать имя переменной, если это переменная t.
a
s
2
Для
invlaplace s  a  t
того
чтобы
проверить
правильность
вычислений, выделите и скопируйте полученное
1
s1
invlaplace  e
 tизображение, в меню Symbolics выберите операцию
invlaplace (Inverse Laplace), поставьте запятую,
после которой укажите переменную s и щелкните курсором вне рамки или
нажмите клавишу Enter.
Замечание: аналогично, указывать переменную s не обязательно.
Основные свойства преобразования Лапласа, используемые при
решении дифференциальных уравнений следующие:
 оригинал
образом,
с
восстанавливается
точностью
до
значений
по
в
изображению
точках
единственным
разрыва
–
теорема
единственности;
 если F(p) и G(p) - изображения соответственно для f(x) и g(x), то
изображением
для
af(x)+bg(x)
является aF(p)
+bG(p)
–
линейность
преобразования Лапласа;
 изображением
для
производной f (n)(x)
является
функция
pnF(p)-pn-1f(0)-pn-2f'(0)- …- pf (n-2)(0)-f (n-1)(0) – изображение производных;
 если F(p) изображения для f(x), то для любого a>0 изображением
для f(x-a) является e  ap F  p  – теорема запаздывания.
Рассмотрим задачу Коши:
y n   a1 y n1    an y  f x ,
y 0  y0 , y 0  y1 ,  y n2  0  y n1 ,
где a1, a2, …, an – постоянные.
Алгоритм решения
задачи
Коши для
уравнений операционным
методом состоит в следующем. Обозначим Y(p) и F(p) изображения для y(x)
и f(x).
Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к
изображениям, получим:
p Y  p  p
n
n 1



y0    yn1  a1 p n1Y  p   p n2 y0    yn2    anY  p   F  p 
или, A(p)Y(p)+B(p) = F(p), где A(p) и B(p) – многочлены.
Отсюда: Y  p  
F  p   B p 
и искомое решение задачи Коши y(x) является
A p 
оригиналом для Y(p).
ПРИМЕР 2. Решение задачи Коши для линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами.
Решим операционным методом задачу Коши x''+4x = cos(2t), x(0) = 1,
x'(0) = -1. Проверим правильность решения.
Найдем изображение для правой части уравнения
cos ( 2  t) laplace 
s
Набрав функцию, в меню Symbolics выберите
s 4
операцию laplace и щелкните курсором вне рамки.
2
Запишем изображение левой части уравнения:
обозначим X – изображение x(t), тогда изображение x'(t) равно pX–1,
изображение x''(t) равно (s2)X–s+1 и, следовательно, изображение x''+4x
равно (s2)X–s+1+4X.
Определим и решим алгебраическое уравнение относительно X(p)
Введите
Given
вычислительного
s
2
s  X  s  1  4X
ключевое
2
s 4
изображение
слово
блока),
левой
части
Given
затем
(начало
введите
уравнения,
знак
символьного равенства (<Ctrl>+<=> или знак = на панели Boolean),
3
Find ( X ) simplify 
полученное изображение правой части
2
s  s  5 s  4
s 2  4
уравнения, функцию Find аргумента X
2
(встроенная функция для решения
системы относительного выбранных
переменных), выберите функцию simplify (упрощение выражений) на панели
Symbolic и щелкните вне выделяющей рамки.
Выполним обратное преобразование Лапласа - найдем решение задачи Коши
3
2
s  s  5 s  4
s 2  4
invlaplace  cos ( 2  t) 
sin ( 2  t)
2
2

t  sin ( 2  t)
4
Выделите и скопируйте полученное решение, в меню Symbolics выберите
операцию invlaplace (Inverse Laplace) и щелкните курсором вне рамки.
Определим решение как функцию переменного t
x( t)  cos ( 2  t) 
sin( 2  t)
2

t  sin( 2  t)
4
Подставим найденное решение в левую часть уравнения и упростим
полученное выражение
d
2
dt
2
Для
того
чтобы
x( t)  4  x( t) simplify  cos ( 2  t) дифференцирования,
ввести
оператор
щелкните
по
нужному символу в панели Calculus и
введите переменные и параметры в помеченных позициях.
Проверим начальные условия
x( 0)  1
x'( t) 
d
x( t)
dt
Задание
Записать изображения следующих функций
 t cos(at)
 tn
 f(t)/t
 e-atsin(bt)
 e-atcos(bt)
 tnf(t)
 te-at
 t sin(at)
 1
 sin(at)
 cos(at)
 cos a(t-t0)
 e-at
Решить операционным методом задачу Коши
 x''+4x=2, x0=x'0=0
 x''-x=1/(1+et), x(0)=x'(0)=0
 x'+x=e-2t, x(0)=1
 x''+x=1, x(0)=0, x'(0)=1
 x''+2x'-3x=e-t, x(0)=0, x'(0)=1
 x'''+2x'=t sin t, x(0)=0, x'(0)=0
x'( 0)  1