Нестандартные методы решения квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений в Впервые квадратное древности уравнение смогли решить древние египтяне. При раскопках в одном из папирусов содержится задача. Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь равна 12, а 3/4 длины равны ширине. Решение. Пусть длина поля равна x, тогда ширина- 3/4 x, а площадь - 3/4 x2. Получаем квадратное уравнение: 3/4 x2 = 12, x2 = 16, x = ± 4 (-4 не удовлетворяет условию задачи). Ответ: 4. 2 x + 10x = 39 x2 +10x + 25 = 39 + 25, (x+5)2 = 64, x + 5 = 8, x = 3. Второй корень найдём из уравнения x + 5 = - 8, x = - 13. Ответ: - 13; -8. 2 x + 10x = 39 (x+5)2 = 39 + 25 x+5=8 x = 3. Ответ: 3. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 (а ≠ 0) можно рассматривать как абсциссы точек пересечения окружности с центром Q( ; ), проходящей через точку А(0; 1), и оси Ох. Решение уравнения сводится к построению на координатной плоскости окружности с центром Q и радиусом QА (для этого и понадобятся инструменты) и определению абсцисс точек пересечения окружности с осью Ох. Первый случай. Если QA> , то окружность пересекает ось Ох в двух точках М(х1; 0) и N(х2;0); уравнение имеет корни х1, х2. Второй случай. Если QA= , то окружность касается оси Ох в точке М(х1; 0); уравнение имеет корень х1. Третий случай. Если QA< , то окружность не имеет общих точек с осью Ох, в уравнение нет корней. Пример 1. Решите уравнение х2 -2х+1=0. Ответ: 1. Пример 2. Решите уравнение х2+ 4х-5 = 0. Ответ: -5; 1. Пример 3. Решите уравнение х2 -4х+5=0. Ответ: нет корней. Графический способ решения квадратных уравнений I способ II способ III способ X 2+1,5x-2,5=0 Решение: X2=-1,5x+2,5 y=x2 и y=-1,5x+2,5 Ответ: - 2,5; 1. Общие методы решения квадратных уравнений 3x 2+2x-1=0 Решение : 3x2 + 3x-x-1=0 3x(x+1)-(x+1)=0 (x+1)(3x-1)=0 x+1=0, или 3x-1=0 1 x=-1. x= . 3 1 Ответ:-1; . 3 (5x+3)2=3(5x+3)-2 Если t=1,то 5x+3=1, x=-0,4. Пусть 5x+3=t, тогда t2=3t-2, t2-3t+2=0. Ответ:-0,4;-0,2. Если t=2,то 5x+3=2, x=-0,2. Специальные методы решения квадратных уравнений При решении уравнения ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) можно пользоваться следующими правилами: с a 1.Если a +b + c = 0, то x1 = 1, x2 = . 2.Если a + c = b, то x1 = -1, x2 = - с .a Метод «переброски» старшего коэффициента. Умножим обе части уравнения ax2 + bx + c = 0 на a ≠ 0: a2x2 + bax + ca = 0. Пусть ax = y, тогда получим уравнение y2 + by + ca = 0. ax1 = y1, ax2 = y2, x1= , x2= . 2 2x – 11x + 15 = 0 Решение. Умножим обе части на 2: 2 2 • x 2 – 2 • 11x + 30 = 0. Пусть 2x = y, тогда y2 – 11y + 30 = 0. Корни уравнения y1 = 5, y2 = 6. 2x 1 = 5, 2x 2 = 6, x 1 = 2,5, x 2 = 3. Ответ: 2, 5; 3. Вопросы анкетирования: 1) Каким способом вы раньше решали квадратное уравнение, и каким стали решать после открытого урока? 2) Какой способ вам показался самым: А) лёгким? Б) трудным? В) интересным? 3) Какой способ вы бы хотели включить в школьную программу? Спасибо за внимание!!!