Производная и ее приложения. Приращение функции. Физический смысл производной. Вычисление

Производная и ее
приложения.
Приращение функции. Физический
смысл производной. Вычисление
производной по определению
Приращение функции
1) Сформулируйте определения
приращения
аргумента
и
приращения функции в данной точке
x0.
?
2) От чего зависит приращение
функции при каждом
фиксированном x0?
3) Что показывает на
графике отношение
f ( x 0 )
x
Физический смысл производной, рассмотрим
падение тела с некоторой высоты
• рассмотрим промежуток t от момента t0 до t = t0 + t.
Тогда S(t0) = S(t0 + t) – S(t0) = ... = gt0t + g(t)2, то
есть, при фиксированном t0 S(t0) зависит только
от t ! Для рассматриваемой функции: t –
приращение аргумента в точке t0; S(t0) –
приращение функции в этой точке. Средняя скорость
S ( t 0 )
• движения на [t0; t0 + t] равна: Vср. 
= gt0 + 1 gt
1
t
2
= V0 + 2 gt. Пусть t  0, тогда
1


lim Vс р.  lim V0  gt   V0
t  0
t  0

2
Таким образом, для каждого фиксированного
S ( t 0 )
lim
 V0
момента времени t0
t  0
t
–равен некоторому числу, которое называется мгновенной
скоростью падения тела в момент времени t0!
Определение
• Производной функции в точке x0
называется предел отношения
приращения функции к приращению
аргумента, если приращение
аргумента стремится к нулю.
f ( x 0 )
f ( x 0  x )  f ( x 0 )
f '( x 0 )  lim
 lim
x  0
x  0
x
x
Определения.
• 1) Функция называется дифференцируемой в
точке x0, если f’(x0).
• 2) Функция называется дифференцируемой на
множестве I, если она дифференцируема в
каждой точке из этого множества.
• Пусть функция y = f(x) дифференцируема на I.
Тогда x0I  f’(x0). Соответствие {x0}  {f’(x0)}
определяет новую функцию, которая
называется производной функции y = f(x) и
обозначается f’(x).
• В чем различие f’(x) и f’(x0)? [функция и число].
Операция вычисления производной функции
называется дифференцированием функции.
Вычисление производных по
определению
• 1) f(x) = C.
f(x0) = f(x0 + x) – f(x0) = C – C = 0;
.
Таким
образом,.
f ( x 0 )
f '( x 0 )  lim
 lim 0  0
(С)’ = 0
x  0
x  0
x
• 2) f(x) = kx + b.
• f(x0) = f(x0 + x) – f(x0) = k(x0 + x) – kx0 = kx;
f ( x 0 )
 lim k  k Таким образом,
• f ' ( x 0 )  lim
.
x0
x  0

x
.
(kx + b)’ = k
Алгоритм нахождения
производной:
• Зафиксировать значение х0 и найти f(x0)
• Дать аргументу х0 приращение  х ,и найти
f(х0+ х)
• Найти приращение  у= f(х0+ х) - f(х0)
• Составить отношение  у/  х
• Вычислить
f ( x 0 )
f ( x 0  x )  f ( x 0 )
f '( x 0 )  lim
 lim
x  0
x  0
x
x
Вычислить по определению
производные
• 3) f(x) = ax2 + bx + c
• 4) f(x) =
x . f’(0) – не существует
.
(
x )’ =
1
2 x
(ax2 + bx + c)’ = 2ax + b
Рассмотрим функцию f(x) = |x| и
ее график
• Докажем по определению, что
 1, если x  0
f '( x )  
 1, если x  0
А) Пусть x0 > 0, тогда выберем x так, чтобы
x0 + x > 0. f(x0) = |x0 + x| – |x0| = x;
f ( x 0 )
f '( x 0 )  lim
 lim 1  1
x  0
x  0
• .
x
Б) Пусть x0 < 0, тогда выберем x так, чтобы
x0 + x < 0. Аналогично получим, что . f '( x )   1
0
В) Пусть x0 = 0, тогда f(x0) = |x0 + x| – |x0|=|x|.
f ( x 0 )
x
,
не существует, поэтому
lim
x  0
x
 lim
x  0
x
• данная функция не дифференцируема в
нуле.
• F(x) = |x2 – 6x + 5|.
• А) Постройте график функции.
• Б) Найдите f’(2) и f’(6).
• B) (по вариантам) Докажите, что в точках
x0 = 1 и x0 = 5 функция не дифференцируема
x  6x  5, если x  1 или x  5
f (x )  
2
  x  6x  5, если 1 x  5
2
2 x  6, если x  1 или x  5
f '( x )  
  2 x  6, если 1  x  5
f’(2) = 2; f’(6) = 6
x 1  x  5
f ( x )  f (1)
lim
 lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1  x  5
lim
4
x 1 0
x 1
не существует, так как
x 1  x  5
lim
 4
x 1 0
x 1
x 1  x  5
f ( x )  f ( 5)
lim
 lim
x5
x 1
x 5
x 5
•
не существует, так как
lim
x 5 0
x 1  x  5
x 5
4
lim
x 5 0
x 1  x  5
x 5
 4
Домашнее задание
• Выучить стр163 п1,2,3 и записи
• Вып.№392 (3,5,7) №393(1,2)
• Cоставить таблицу производных.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Вопросы по теории:
1)Сформулируйте определение приращения функции и приращения аргумента.
2) определение производной функции в точке.
3)Физический смысл производной
4)Как называется операция нахождения производной?
5)Какая функция называется дифференцируемой в точке?.
6)Какая функция называется дифференцируемой на отрезке?
7)Алгоритм вычисления производной.
8) Вычислять по определению производные простейших функций.