Дифракция света. Принцип Гюйгенса

Дифракция света.
Принцип Гюйгенса-Френеля.
Френель дополнил принцип Гюйгенса
о том, что любая неоднородность на
пути волны является источником
вторичных волн, идеей об
интерференции вторичных волн.
Принцип Гюйгенса-Френеля позволил
объяснить прямолинейность
распространения волн и их
дифракцию, т.е. огибание препятствий.
S - положение волнового фронта в
некоторый момент времени.
N
S

r
A
B
a
b
Для того, чтобы определить поле в точке
В, нужно сложить все вклады от элементов
поверхности
с учетомSих амплитуд и
фаз.
N
S

r
A
B
a
b
a 0 S i t kr 
E  K 
e
r

a
Дифракция света - отклонение
от прямолинейного
распространения (от законов
геометрической оптики) при
всяком ограничении волнового
фронта, в частности, при
прохождении через малые
отверстия и при встрече с
малыми препятствиями.
Метод зон Френеля.
Объяснение прямолинейности
распространения света.
Зонная пластинка
A
M3
M2
M1
M0
a
B
b
1
M1B  M 0 B  M 2 B  M1B  M 3 B  M 2 B  ...  
2
Для первой зоны

b+
a r
a-x x
b B
M
Aa
0
r  a  a  x 
2
2
2
2


2
  b    b  x 
2

  a , b
Для первой зоны

b+
a r
a-x x
b B
M
Aa
0
2
b


a 2  a 2  2ax  x 2  b 2  2

 b 2  2bx  x 2
2
4
Для первой зоны

b+
a r
a-x x
b B
M
Aa
0
b 
x

ab 2
Площадь сферического сегмента,
представляющего первую, или
центральную зону, равна:
b  ab
2ax  2a 
 

ab 2 ab
Для площади сегмента, занимающего
две первые зоны (1 и 2-ю)
2ab
4ax 

ab
т.е. площадь второй зоны также
ab

ab
Аналогично и для последующих зон
ab
S1 , S2 , S3 , ... 

ab
Однако нужно принять во внимание,
что действие отдельных зон на т. В
убывает в соответствии с K 
Амплитуда в т. В
a  a1  a2  a3  a4  a5  a6 ...  a1  a2  a3   a4  a5   ...
Из условия, что a1  a2  a3  a4 ...
следует, что
a1  a
т.е.
IB  a
2
2
 a1
1. Этим доказывается прямолинейность
распространения света, т.к. за счет
взаимной интерференции света,
идущего к т. В от различных участков
световой сферической волны,
амплитуда колебаний меньше
амплитуды, создаваемой действием
одной центральной зоны. Т.о. действие
всей волны сводится к действию ее
малого участка, меньшего, чем
ab

центральная зона с S1 
ab
Даже при и порядка 1м,
площадь действующей части
2
волны меньше 1мм .
Т.е. свет идет внутри очень
узкого канала вдоль , т.е.
прямолинейно.
Если на линии поместить любой
небольшой непрозрачный экран,
например, закрывающий первую зону,
то a  a2 или a  am , m  номер первой
открытой зоны.
Если m невелико, то
интенсивность почти не
изменяется. Однако экран с
зазубринами - порядка зоны
Френеля приводит с сильному
уменьшению интенсивности в
т. В.
Зонная пластинка
Радиус m -й зоны Френеля равен
r  a  a  2ax  
x
2
2
2
2
мал.
вел.
a
A
b
B
r  2ax 
a
A
mab

ab
b
B
ЗП - это экран с
чередующимися прозрачными
и непрозрачными кольцами.
Если ЗП прикрывает все
четные зоны, то
результирующая амплитуда
a  a1  a3  a5  a7 ...
т.е. интенсивность в т. В
больше, чем без ЗП, т.е. она
действует как собирающая
линза.
a  a1  a3  a5  a7 ...
Введем
f 
2
rm
m
тогда из (*)
1 1 1
 
a b f
- формула тонкой линзы
В отличие от линзы ЗП дает не одно, а много
изображений источника
1 1
2n  1 1



a bn
f
fn
n  0, 1, 2,...
Графическое определение
результирующей амплитуды
M
2

A
b+
M
1
B
0
a
M
0
b
Интенсивность в т. В от первой
зоны


Если открыты 1 и 2-я зоны, то
M1
Для всей волны:
M1
открыта
1-я
зона
1M
2 1
открыто
все
половина
1-й
зоны
Простейшие дифракционные
задачи
Дифракция на круглом отверстии.
I(B
)
2
1
6
4
3
5
7
b
0
Дифракция в ближней зоне, дифракция
Френеля: в зависимости от числа открытых
зон Френеля, т.е. положения т. В при прочих
равных условиях мы имеем различные виды
распределения дифракционной картины.
Дифракция на круглом экране
светлое пятно
Пуассона
Спираль Корню
Дифракция на краю экрана
M2/ M /1
M0 M1
M2
M3
b +  
L
K
Волновой фронт делится на
зоны, т.н. лунки. Разность хода
между соседними лунками
всегда равна
 2
но площади зон не равны между
собой, их соотношение:
1:0,41:0,32:0,27:0,24:0,22:0,20:0,18:0,17:
и т.д
левая правая
-3
-5
I
-2
-4
-6
I/4
L
21
3
4
5
K
Дей стви е левой
п олови н ы
волн ового фрон та
4
3
F+
5
-2
1
2
0
-4
Дей стви е п равой
п олови н ы
волн ового фрон та
F -5
-3
F+ F
OF+ = A/2
A
A/2
Г/2
Дифракция в параллельных лучах
(в дальней зоне, дифракция
Фраунгофера)
плос к а я
в олна
b
A
1
/
2
/
B
3
/

1
2
M
3
4
0
C
 
 
 
E
Плоская волна падает на экран с узкой
щелью шириной b. Фронт волны АВ
является источником вторичных волн.
Лучи, распространяющиеся под
некоторым углом  с помощью линзы
собираются в некоторой т. М, где
интерферируют с учетом разности фаз
между ними. Разность фаз лучей 1, 2,
3, 4 определяется разностью хода .
1, 2, 3
Оптические пути АМ и СМ
одинаковые, таутохромная система.
Разность хода, определяющая условия
интерференции, возникает лишь на
пути от исходного фронта АВ до
плоскости АС.
Для расчета интерференции применим
метод зон Френеля. Для этого
мысленно разделим линию ВС на ряд
отрезков длиной  2
На расстоянии BC  b sin 
уложится
b sin 
z
2
таких отрезков. Проводя линии из концов
этих отрезков (параллельные АС) разобьем
фронт волны на зоны Френеля.
Из построения следует, что волны,
идущие от каждых двух соседних зон
Френеля, приходят в т. М в
противофазе и гасят друг друга. Если
число зон оказывается четным,z=2m,
(m- целое число, не равное нулю), то
каждая пара соседних зон взаимно
гасит друг друга и при данном угле 
на экране будет min освещенности.
Углы , соответствующие этим
min освещенности, находятся
из условия:

b sin   2m  m
2
В промежутках между min
будут наблюдаться max
освещенности

b sin   2m  1
и при   0
2
Для этих углов фронт АВ
разбивается на нечетное число
зон Френеля: z=2m+1 и одна из
зон остается непогашенной.
Амплитуда в этом случае будет
1
составлять долю
2m  1
а интенсивность
1
2m  1
от суммарной амплитуды
2
A0
создаваемой всеми зонами фронта АВ в
направлении   0
b sin   
A0
A0
3
3
b sin   
2
A
0
~
A
3
b sin   2
A0
A0
5
5
b sin   
2
A
~
A0
5
Расчет дифракции на щели
Идея расчета: записывается выражение для
волны, посылаемой каждым элементом
волнового фронта и суммируется действие
этих элементов.
b
A
B
x dx
E
D

C
B

Амплитуда волны от элемента
пропорциональна его ширине dx
т.е. равна
c  dx
Множитель с определяется из условия
cb  A0
т.е.
A0
c
b
Световое возмущение от
участка dx
A0
dE 
dx cos t
b
В точке B соотношение фаз отдельных
участков будет таким же как на плоскости
АС, т.к. AB и CB таутохромны.
Разность хода между волнами,
идущими от элементарной
зоны при т. А (край щели) и от
какой-либо т. (лежащей на
расстоянии x от края щели)
есть: DE  x sin 
Световое возмущение в т. Е
A0
dE 
dx cost  kx sin 
b
Результирующее возмущение в т. B
определяется как сумма выражений dE , т.е.
интегралом по всей ширине щели:
b
b
A0 b
A0




E   dE 
cos

t

kx
sin

dx


sin

t

kx
sin



0
b 0
bk sin 
0

A0
sint  bk sin   sin t    A0 2 cost  bk sin   sin bk sin   
bk sin 
bk sin 
 2 
 bk sin  
sin

 2   cos t  bk sin    A sin  cost   
 A0


0
bk sin 
2 


2
sin 
A  A0

bk sin  b sin 
где  

2

2
k

I 
2  sin  
A0 

  
2