Плотность распределения вероятности огибающей суммы

Лекция №7
Статистические
характеристики огибающей
суммы гармонического
сигнала и узкополосного
шума
Пусть на входе радиотехнического
устройства
присутствует
сумма
узкополосного нормального шума  t  и
и детерминированного гармонического
сигнала U m cos 0 t :
xt   U t  cos0t   t    t   U m cos 0t  At  cos 0t  Bt sin 0t  U m cos 0t 
 U m  At os0t  Bt sin 0t
Очевидно, что
At   U t cos  t   U m
Bt   U t sin  t 
Плотность
распределения
вероятностей синфазной и квадратурной
составляющих
 A2  B 2 
f  A, B  
exp 
2
2 
2
 2 
1
Переходя
к
новым
переменным,
получаем (якобиан преобразования равен
U
):
2
2

U  U m  2UU m cos  
U
f U ,   
exp 

2
2
2
2 


Чтобы получить одномерную ПРВ
огибающей U ,надо проинтегрировать
выражение для f U ,  по фазе:
f U  
2
 f U , d
0
2
2

U  U m   UU m
U
f U   2 exp 
I0  2
2

2     





Т.е. это выражение носит название
закона Раиса
Плотность распределения вероятности огибающей
суммы гармонического сигнала и нормального шума
f U 
0
3
 5
U
При отсутствии детерминированного
гармонического сигнала, т.е. при U m  0 из
выражения получим закон Рэлея. При
U m   
больших значениях
ПРВ
огибающей стремится к нормальной
f U  
 U  U m 2 
exp 

2
2
2 
2  


1
с дисперсией равной
матожиданием U m .

2
,
и
Одномерное
распределение
фазы
можно
получить
проинтегрировав
выражение

f U    f U ,  dU
0
1
f   
e
2
1
 2
2
1
  2 cos2  

2


1

2


cos



cos

e




    

Um

где  Z  - интеграл вероятности.
Плотность вероятности фазы
Плотность распределения вероятности фаз суммы
гармонического сигнала и нормального узкополосного
шума
f  
2,0
5
0,8
1
 0
0,2



2



При больших соотношениях сигнал/шум
 распределение фаз стремится к
2
нормальному с дисперсией 1  :
1
f   
e
2
  1
1 2 2
  
2
Несколько
сложнее
получить
соотношение для мгновенной частоты.
Частота – это производная от фазы,
можно
получить
четырехмерную
плотность для огибающей, фазы и их
производных:


U

1
   U 2  U 2  2UU cos   U 2  U 2 2  
f U ,U ,  ,   
exp 
m
m
 0
 


2 4
2

 2     0 

4      0 






2
здесь  0   0


Одномерная ПРВ производной от фазы




0

f U    d  dU
 f U ,U , , dU
После
интегрирования
приобретет вид:
 2
f  y   3 exp 
2

2
2h
1
формула
1    2    2   2   2 

 I 0   
I 1  
1   1 
 2h   2h   4h  2h  4h 
где
h  1 y
2
y

 0



 0


Um

Здесь  - мгновенная частота.
Показана
зависимость
для
отношений сигнал/шум.
разных
f y
При большом сигнале
  1 ПРВ стремится
к
нормальной
с
дисперсией  y  12 .

2
5
1,2
3
0,5
2
1
 0
1
2
y
Линейное и квадратичное
детектирование
смеси нормального
случайного процесса
и гармонического сигнала
Линейный
и
квадратичный
детекторы
выделяют огибающую сигнала и ее квадрат.
Непосредственное
исследование
системы
"нелинейный элемент-инерционный элемент
(фильтр)
достаточно
сложно,
поэтому
ограничимся
сравнением
статистических
характеристик огибающей и ее квадрата.
Матожидание и дисперсия определяются
следующими выражениями:
mU   

2
 1 2   1 2  1 2  1 2   4
exp 1    I 0      I1   e
2
 4 
 2   4  2
 1 2
 U  2  1     mU2
 2 
Воспользовавшись асимптотическими
представлениями Бесселевых функций,
получим
mU   

1 2
1

 

2 4 
4   1 2 
U 
1   
2  4 
Если
 1
 3
mU  U m 1 
1
2
2
U  
Из выражений видно, что при слабых
mU
сигналах (   1 )
и 
растут
пропорционально
среднеквадратическому
отклонению
шума   , а при больших значениях
сигнала   3 , mU - пропорционально
амплитуде сигнала, а  U2 - дисперсия
(практически постоянна).
Эти зависимости показаны далее.
Зависимость среднего и
среднеквадратического отклонения
огибающей от отношения сигнал/шум
U

mU

8
1
7
0,8
6
5
0,6
4
3
2
0,4
0,2
1
0
Um
2
Таким образом, при малых значениях
амплитуды
на огибающую большее
Um
влияние оказывает значение шума, при
больших значениях отношения сигнал/шум
большее влияние на огибающую оказывает
амплитуда гармонического сигнала.
Если провести такие же преобразования для
квадрата огибающей, то можно получить
матожидание
и
среднеквадратическое
отклонение для квадратичного детектора:
 1 2
m  2  1   
 2 
2
U
2
  4  1  
2
U
Эти зависимости показаны далее.
4
2

Зависимость среднего и
среднеквадратического отклонения
квадрата огибающей от отношения
сигнал/шум
 2U
 2
m 2U
 2
50
40

 2
8
6
30
20
10
0
Таким образом,
зависимости для
квадратического
детектора похожи
на зависимости
для линейного в
режиме малого
сигнала.
10
2
U
m 2U
 2
4
2
U
m
2