Следствия из формул Френеля

Лекция 6
Формулы Френеля
В отличие от геометрических
законов, амплитуды отраженной
и преломленной волн зависят от
поляризации падающей волны.
Целесообразно рассматривать
два случая раздельно, когда
электрический вектор лежит в
плоскости падения, либо
перпендикулярно к ней.
  
Разложим амплитуды A , R , D
на компоненты p и s, лежащие
соответственно в плоскости
падения и  к ней.
 

A  Ap  As
 

R  R p  Rs
 

D  D p  Ds
Выразим Rp и Dp через Ap,  и 
Rs и Ds через As,  и 
1) Свет линейно поляризован в
плоскости падения
Граничные условия
E1  E2
1 E1n   2 E2 n



E1  Ap  R p


E2  D p
Ap cos   R p cos   D p cos
 1 Ap sin   R p sin     2 D p sin 
2
sin 

sin 
1
Ap  R p 
D p cos
 2 D p sin 
sin 2  sin  D p sin 
; Ap  R p 
 Dp


2
cos 
 1 sin 
sin 
sin  sin 
Ap  R p
1
Rp
Ap cos sin 



R p cos  sin 
Ap  R p
1
Ap
1 x
A 1
 A  1  x  A  Ax  x A  1   A  1  x 
1 x
A 1
sin  cos  sin  cos 
1 2 sin 2  sin 2 



Ap sin  cos  sin  cos 
1 2 sin 2  sin 2 
Rp
2 cos   sin   
tg   


2 sin    cos  
tg    
tg    

Ap
tg    
Rp

R p  cos  

2
sin

cos

cos



 1 
 

Ap 
Ap  cos  sin  cos  sin  cos   cos
2 sin  cos 
2 sin  cos 


1
1




sin



cos



sin 2  sin 2
2
2
Dp
2 sin  cos 

Ap sin     cos   
Dp
2) Свет линейно поляризован в плоскости,
перпендикулярной плоскости падения.



H1  H ep  H rp
Граничные условия:
H1n  H2 n
H 1  H 2
Hep sin   Hrp sin   Hdp sin 
Hep cos   Hrp cos   Hdp cos 
Так как:
E  H
1 A s  Hep
1 Rs  Hrp
 2 Ds  Hdp
то
 ( As  Rs ) 1 sin    2 Ds sin 

( As  Rs ) 1 cos    2 Ds cos 
Разделим одно соотношение на
другое, тогда получим:
Rs
1
As  Rs
As sin  cos 


Rs sin  cos 
As  Rs
1
As
Обозначим
1 y
B
1 y
тогда
B 1
y
B 1
Делаем подстановку:
Rs cos  sin   sin  cos 
sin(    )


As cos  sin   sin  cos 
sin(    )
Ds 
Rs  1 sin 
2 cos  sin 
2 sin  cos 


 1  
As 
As   2 sin  cos  sin   sin  cos  sin(    )
rp 
Rp
- коэффициент отражения по
амплитуде p-компонента
Ap
Rs
rs 
As
 Rp
rp  
A
 p
 Rs
rs  
 As




- коэффициент отражения по
амплитуде s-компонента
2



2
- коэффициент отражения по
мощности p-компонента
- коэффициент отражения по
мощности s-компонента
Нормальное падение
Для случая нормального падения
(==0)формулы Френеля приобретают
неопределенный вид 0/0. Для того чтобы
вскрыть эту неопределенность,
воспользуемся тем, что при малых углах
sin и tg могут быть заменены самими
углами, а cos1. Тогда

1
Rp
tg    
 
n 1






Ap
tg    
 
n 1
1

2 sin  cos 
2  1
2
2




Ap sin     cos         1 
n 1
1
Dp

Rs
sin    
 
n 1



As
sin    
 
n 1
Ds 2 sin  cos 
2
2



As
sin        n  1
Коэффициент отражения от
диэлектрика
При опытной проверке формул Френеля
мы имеем дело не с амплитудой
световой волны, а с интенсивностью
света, пропорциональной квадрату
амплитуды
tg    
rp  2  2
Ap tg    
R p2
 0

n  1.5
2
R
sin    
rs 

A
sin 2    
 n 1
rp  rs  r  

 n  1
2
s
2
s
2
rp  rs  r  0,04  4%
2
  90

rp  rs  r  1
т.е. при скользящем падении света
происходит полное отражение света. С
этим, в частности, связаны яркие
изображения предметов в спокойной воде
(берега рек, фонари, заходящее солнце,
лунная дорожка), блеск лысой головы и пр.
  

2
Rp обращается в ноль, Rs0.
В этом случае:
sin 
n
sin
sin 
 tg


sin    
2

tg Бр  n
Закон Брюстера
 Бр  arctg n
При n=1,53 (стекло, роговой слой
кожи в видимом диапазоне)
Бр57о
Следствия из формул Френеля
Комментарий: изменение знака
амплитуды эквивалентно
изменению фазы
соответствующей волны на .
Следствия из формул Френеля
• 1. Амплитуды отраженной и преломленной
волн - величины действительные
(вещественные), т.е. поляризация отраженной и
преломленной волн остается линейной.
• 2. Поэтому фазы отраженной и преломленной
волн либо совпадают с фазой падающей волны
(когда совпадают знаки амплитуд этих волн),
либо отличаются на  (когда знаки
отраженной и преломленной волн
противоположны знаку амплитуды падающей
волны.
Следствия из формул Френеля


• 3. При малых углах падения,      2 


фазы обоих компонентов электрического
вектора отраженной волны
противоположны фазе падающей, когда
n2  n1
Т.е. при отражении от оптически более
плотной среды (n >1) происходит
потеря полуволны:

2

  
,
   / 2
где  - разность фаз,  - разность хода.
Следствия из формул Френеля
• 4. При отражении от менее плотной
среды (n <1) потери полуволны не
происходит.
Поляризация света при
прохождении через границу
двух диэлектриков
Для естественного света Ap  As ,т.е. за
интервал времени достаточно длинный
по сравнению с продолжительностью
излучения отдельных цугов,слагающие
амплитуды в плоскости падения и
перпендикулярные к ней в среднем
равны между собой.
Однако для отраженного света,
R R
т.к.
p
s
tg (  )
R p   Ap
;
tg (   )
sin(  )
Rs   As
sin(   )
Следовательно, коэффициент
отражения
Ap  As
2
2
2
I r Rp  Rs 1  Rp Rs2  1  tg 2 (  ) sin 2 (  )  1
  2
r 
 

 2
   rp  rs 
2
p
2
2
I e Ap  As 2  Ap Rs  2  tg (  ) sin (  )  2


Отраженный свет является
частично поляризованным т.к.
Rs  R p
с преимущественными
колебаниями в плоскости
перпендикулярной плоскости
падения.
Степень поляризации:
P
Is  I p
Is  I p
Р=1:
полная поляризация в
плоскости перпендикулярной
плоскости падения.
Р=-1:
полная поляризация в
плоскости падения.
Р=0:
неполяризованный свет.
1 P  0 
 -соответствует частичной
0  P  1
поляризации .
Явление полного внутреннего
отражения
sin 
sin  
n
n2
n
1
n1
 sin>1, что не имеет
смысла.
Угол , соответствующий условию sin  np  n
называется предельным углом.
sin   1 
sin  np
n
т.е. =90 и в соответствии с формулами
Френеля отражение становится полным.
Для всех углов падения    np
не существует вещественных значений
угла преломления , могущих
удовлетворить закону преломления.
Поэтому при    np
поток энергии в преломленном луче
остается равным нулю, а r=1.