Геометрические задачи «С2» по материалам ЕГЭ Задачи №1 №2 №3 Нахождение угла между плоскостью основания правильной пирамиды и прямой, соединяющей вершину основания с точкой пересечения медиан боковой грани. Нахождение тангенса угла между плоскостями ACD1 и A1B1C1, в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1. Нахождение угла между плоскостью основания правильной пирамиды и прямой, соединяющей середины бокового ребра и ребра основания. №1 В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 12 3, SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М точка пересечения медиан грани SBC. Решение. Пусть К – середина ребра ВС. S Прямая SK – апофема. Прямая SO – высота пирамиды. М – точка пересечения медиан грани SBC, поэтому SM: MK = 2:1. 13 M А O 12 3 В Опустим из точки М перпендикуляр MN, тогда отрезок AN - проекция отрезка АМ на плоскость основания. N K Угол MAN - искомый. С Его можно найти из прямоугольного треугольника MAN. №1 В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 12 3, SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М точка пересечения медиан грани SBC. Решение. Треугольник АВС - правильный, значит S AB 12 3 R AO R 12, OK r 6. 2 3 3 Из SOA: SO 13 M А 12 16 12 3 O6N K С В AS 2 AO 2 169 144 5. Тогда, SOКMNК, k = 3. 1 5 1 MN SO , NK OK 2, ON 4. 3 3 3 Из прямоугольного MAN, находим MN 53 5 tg MAN . AN 12 4 48 5 arctg . Значит, искомый угол равен 48 5 . Ответ: arctg 48 №2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 6, BC = 6, CC1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями ACD1 и A1B1C1. 1) Построим плоскость ACD1.. Решение. D1 C1 А1 B1 4 C D 6 O А B 6 Ответ: 2 2 . 3 2) Вместо плоскости A1B1C1 возьмем параллельную ей плоскость ABC . 3) АВСD – квадрат, диагонали АСBD в точке О, О – середина AC, DО⊥AC. 1 1 DO DB AD 2 DC 2 3 2. 2 2 4) D1О⊥ AC, так как AD1C- равнобедренный, AD1=D1C. 5) Значит, D1ОD — линейный угол искомого угла. 6) D1DО – прямоугольный, тогда DD1 4 2 2 tg DOD1 DO 3 2 3 №3 В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 8 3, SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой проходящей через середины ребер АS и BC. Решение. Пусть точка К – середина ребра ВС, S Точка М – середина ребра AS. MK – прямая, проходящая через точки М и К. 17 SO – высота пирамиды. M В Опустим из точки М перпендикуляр MN, тогда отрезок КN - проекция отрезка КМ на плоскость основания. А N 8 3 K O С Угол MКN - искомый. Его можно найти из прямоугольного треугольника MКN. №3 В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 8 3, SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой проходящей через середины ребер АS и BC. Треугольник АВС - правильный, значит R AB 8 3 AO R 8, OK r 4. 2 3 3 Решение. S 2 2 Из SOA: SO AS AO 289 64 15. 17 M 15 7,5 А N 4 O4 8 3 С SOAMNA, т.к. А – общий, N=O=90 AO 4, k = 2, т.к. М середина AS, значит и AN=NO= 2 1 15 В MN SO 7,5. 2 2 Из прямоугольного MKN, находим MN 7,5 15 tg MKN . K KN 4 4 16 15 arctg . Значит, искомый угол равен 15 . Ответ: arctg 16 16 №1 №2 В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 3 3, SC = 5. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой МК, где Ксередина ребра АС, а точка М делит ребро ВS так что ВМ:MS=3:1. Чертеж и подсказка В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, в основании которого лежит квадрат со стороной 8, а боковое ребро равно 6, найдите тангенс угла между плоскостями ВC1D и A1B1C1. Чертеж и подсказка Использованные ресурсы Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина: http://alexlarin.narod.ru/ege.html Рисунок на слайдах №2 и №8 взяты с сайта: http://office.microsoft.com/ruru/images/results.aspx?qu=%D1%81%D0%BC%D0%B0%D0%B9 %D0%BB%D1%8B Для создания шаблона презентации использовалась картинка http://www.box-m.info/uploads/posts/2009-04/1238954029_1.jpg и шаблон с сайта http://aida.ucoz.ru