2.Производная

Производная
• Производной функции y  f  x  в
точке x 0 наз. предел отношения
приращения функции в этой точке к
приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к нулю (если этот
предел существует ):
y
f  x0   lim .
x 0 x
M
L
C
M0
M 0 М  секущая ;
L  касательная.
y
y  f x 
M
M 0 ))

)
))
N
x
M 0  x0 ; y0  M  x0  x; y0  y 
MN  y
M 0 N  x
y
k сек  tg 
x
lim   
x  0
y
k  tg  lim tg  lim
 f  x0 
x  0
x  0 x
• Т.(о связи дифференцируемости и
непрерывности)
Если функция y  f x дифференцируема
в точке x 0 , то она в этой точке
непрерывна.
 
Основные правила
дифференцирования
• Т.1 Производная постоянной равна нулю.

C 
0
 
 
• Т.2 Если функции u  u x и v  v x
дифференцируемы в некоторой точке x 0 ,
то в этой точке дифференцируема их сумма
u x v x и
 
 

u  v 
 u   v
 
 
• Т.2 Если функции u  u x и v  v x
дифференцируемы в некоторой точке x 0 ,
то в этой точке дифференцируема их
произведение u x v x
и
  


uuvv  u  v  u  vv
• Следствия:
1)
2)

C  u 

u  v 
 C  u
 u   v
 
 
• Т.3 Если функции u  u x и v  v x
дифференцируемы в некоторой точке x 0 и
v x0  0 то в этой точке
u
x
дифференцируемо их частное
и
 
 
v x 

u   v  u  v
u
  
2
v
v
Производная
сложной функции.
Рассмотрим функции y  f u  и u    x .
Тогда есть сложная функция от
:
y
а
u
y  f   x  ,
- промежуточный аргумент.
x
 
• Если функция u   x имеет
производную u x в точке x 0 , а функция
в
y  f u  имеет производную yu
соответствующей точке u 0    x0  , то
сложная функция y  f   x  имеет
производную y x в точке x 0 и
yx  yu  u x
Производная
обратной функции
• Теорема о существовании обратной
функции:
Если функция y  g x непрерывна и
монотонна на отрезке a; b и её значения
при этом заполняют отрезок c; d , то
1
она имеет обратную функцию x  g  y  ,
которая так же непрерывна и монотонна
на отрезке c; d.
 
 


• Пусть функция x  f  y  монотонна и
дифференцируема в некотором интервале и
имеет в точке y этого интервала
производную x y   0 . Тогда в
соответствующей точке x обратная
1
функция y  f
x имеет производную и

1
y x 
xy
Таблица производных
сложной функции
1) u


  u

 u  2
 1
1
u
 u;
 u;

1
1
    2  u;
u
u
u 
u
2) a   a  ln a  u;
u 
u
e   e  u;

1
3) log a u  
 u;
u  ln a
 1 
ln u    u ;
u

4) sin u   cosu  u;

5) cosu    sin u  u;

1
6) tgu  
 u;
2
cos u

1
 u ;
7) ctgu   
2
sin u
1

;
u

8) arcsin u  
2
1 u
1

;
u

9) arccosu   
1 u2
1

 u ;
10) arctgu  
2
1 u
1

 u .
11) arcctgu   
2
1 u
Дифференцирование неявных
функций
• Если функция y как функция от x
задана уравнением F  x; y   0 , то говорят,
что функция y задана неявно.
6
3
y  y x 0

6
3 
 y  y  x   0
6 y 5  y  y  3x 2  0
2
3x
y  5
6y 1
Логарифмическое
дифференцирование
• Пример. Найти производную функции

x  1 
y
 x  4
5
x2
6
x
2
y  u  x 
ln y  v x   ln u  x 
1
1
 y   v x   ln u  x   v x  
 u  x 
y
ux 
u 

y   y v  ln u  v  
u

vx 
Дифференцирование
функций, заданных
параметрически
 x  xt 

 y  y t 
yt
y 
xt


y x  t
y  
xt
Дифференциал
функции
• Если приращение
в точке
где
y функции y  f  x 
x можно представить в виде
y  A  x  Ox ,
A - величина, не зависит от x
;
Ox  - б.м. более высокого порядка, чем x,
то главная часть приращения, линейная
относительно x ,
наз.дифференциалом этой функции.
dy  A  x
• Т.(о связи между существованием
дифференциала и существованием
производной):
Для того, чтобы функция y  f  x  имела
дифференциал в точке x , необходимо и
достаточно, чтобы она имела в этой точке
производную.
y  A  x  Ox 
y
Ox 
 A
x
x
y
Ox  
Ox 

 lim  A 
A
  A  lim
lim
x 0 x
x 0 
x 0
x 
x
y x  A
dy  y x  x, dx  x
dy  y x  dx
dy
 y x
dx
Свойства
дифференциала
1) dC  0
2) d u  v   du  dv
3) d u  v   v  du  u  dv
 u  v  du  u  dv
4) d   
,
v

0
2
v
v
Следствия
1) d Cu   C  du
2) d u  C   du
3) d Cu  a   C  du
Правило Лопиталя

• Пусть f  x  и  x
дифференцируемые в полуинтервале
a; b , причем   x  0 и пусть при x  a  0
обе эти функции стремятся к нулю или к
бесконечности.
В таком случае
 
f x 
f x 
 lim
lim
x a  0   x 
x a  0   x 
Некоторые теоремы о
дифференцируемых
функциях!
Теорема Ферма
• Пусть функция y  f  x  определена в
интервале (a;b) и принимает в точке x  c
этого интервала наибольшее или
наименьшее на (a;b) значение. Если
существует f c  , то f c   0.
Теорема Ролля
• Пусть функция y  f  x  непрерывна
на отрезке [a;b], дифференцируема на
интервале (a;b) и f a   f b   0 .
Тогда ее производная f  x  обращается в
ноль хотя бы в одной точке c  a;b .


Теорема Лагранжа
• Пусть функция y  f  x  непрерывна на
отрезке [a;b] и дифференцируема в
интервале (a;b). Тогда существует хотя бы
одна точка c  a; b , для которой
выполняется условие:


f (b)  f (a )
 f (c)
ba
Применение
производной к
исследованию
функций
• Функция y  f  x , определенная на
сегменте (интервале), называется
возрастающей на этом сегменте(интервале)
если из неравенства
x2  x1 ( x1 , x2  этому сегменту (интервалу ))
следует f  x2   f  x1 .
x  x2  x1
y  y 2  y1
y
0
x
• Функция y  f  x , определенная на
сегменте (интервале), называется
убывающей на этом сегменте(интервале)
если из неравенства
x2  x1 ( x1 , x2  этому сегменту (интервалу ))
следует f  x2   f  x1 .
x  x2  x1
y  y 2  y1
y
0
x
Необходимо условие
монотонности функции
• Если дифференцируемая в
интервале (a;b) функция y  f  x 
возрастает (убывает) на (a;b), то
для всех x  a; b 
f  x   0  f  x   0.
Достаточное условие
возрастания функции
• Если непрерывная на сегменте
a; b функция y  f  x  в каждой
внутренней точке этого сегмента
имеет положительную
производную, то эта функция
возрастает на сегменте a;b.
Достаточное условие
убывания функции
• Если непрерывная на сегменте
a; b функция y  f x  в каждой
внутренней точке этого сегмента
имеет отрицательную
производную, то эта функция
убывает на сегменте a;b.
Экстремум
функции
• Функция y  f  x  имеет Max в точке
x  c , если существует такая
окрестность этой точки, что для всех
точек x  c принадлежащих этой
окрестности
f  x   f c .
• Функция y  f  x  имеет Min в точке
x  c , если существует такая
окрестность этой точки, что для всех
точек x  c принадлежащих этой
окрестности
f  x   f c .
Необходимый признак
существования
экстремума функции
• Если дифференцируемая в точке x  c
функция y  f  x  имеет в этой точке
Max или Min , то
f c   0.
Достаточный признак
существования
экстремума функции
• Если непрерывная на интервале функция
y  f  x  имеет производную f  x  во всех
точках некоторого интервала, содержащего
критическую точку x  c (за исключением,
может быть, самой этой точки) и если f  x 
при переходе аргумента слева направо через
критическую точку x  c меняет знак с
плюса на минус, то функция в точке имеет
максимум, а при перемене знака с минуса
на плюс –минимум.
Достаточный признак
существования
экстремума функции,
основанный на знаке
f  x 
xc
• Пусть в точке
f c   0 , а
f c  существует и отлична от нуля:
1) если f c   0 , то в точке
функция имеет Max;
xc
2) если же f c   0 , то в точке x  c
функция имеет Min.
Выпуклость и вогнутость
графика функции
• График дифференцируемой функции
называется выпуклым (вогнутым) в
интервале (a;b), если он расположен
ниже (выше) любой своей касательной
на этом интервале
Достаточный признак
выпуклости и вогнутости
• Пусть функция y  f  x  имеет вторую
производную f  x
во всех точках
интервала (a;b). Если во всех точках
этого интервала f  x   0 ( f  x   0 ), то
график функции на (a;b) выпуклый
(вогнутый).
 
• Точка графика непрерывной функции
отделяющая его выпуклую часть от
вогнутой называется точкой перегиба.
Необходимое условие
существования точки перегиба
• Пусть функция y  f  x  имеет в
интервале a; b  непрерывную f  x .
Тогда, если точка с абсциссой x0  a; b 
является точкой перегиба графика
данной функции, то
f  x0   0.
Достаточное условие
существования точки перегиба
• Если вторая производная f  x 
непрерывной функции меняет знак при
переходе аргумента через точку x 0 , то
точка с абсциссой x  x 0 является
точкой перегиба графика функции.
Асимптоты графика функции
• Асимптотой графика функции y  f  x 
называется прямая линия, расстояние от
которой до текущей точки графика
функции стремится к нулю при
неограниченном удалении этой точки от
начала координат.
План исследования
функции и
построение графика
1. Область определения функции.
2. Исследование функции на непрерывность.
3. Четность, нечетность функции.
4. Периодичность.
5. Точки пересечения графика функции с осями
координат.
6. Асимптоты:
а) вертикальные асимптоты;
в) невертикальные асимптоты.
7. Интервалы монотонности и экстремумы.
8. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки
перегиба.
9. Построение графика.