9 класс геометрия площади плоских фигур 2 урок

Площади плоских
фигур
Урок по теме
Основные свойства площадей
1) Равные фигуры имеют равные
площади
Если F1=F2, то SF1=SF2
F1, F2 - равновеликие фигуры
2) Площадь фигуры равна сумме
площадей фигур, из которых
она состоит
S ô  S1  S 2
Медиана треугольника делит его на две равновеликие части
AD - медиана
S ABC  S ABD  S ADC
Пусть М – произвольная точка стороны АС
треугольника ABC, тогда
S ABM AM

S MBC MC
Биссектриса угла треугольника делит его площадь на
части, которые пропорциональны прилежащим
сторонам угла
S ABD AB

S ADC AC
Площади треугольников с общим основанием
относятся как высоты, проведенные к основанию
S ABC
BK

S ADC DM

В треугольнике точка пересечения медиан соединена с
вершинами. Площадь каждого из полученных
треугольников составляет третью часть площади
данного треугольника
S AOB  S BOC  S AOC
1
 S ABC
3
Отношение площадей подобных треугольников (фигур)
равно квадрату коэффициента подобия
ABC  MBN
S ABC
 k2
S MBN
Средние линии треугольника разделяют его на четыре
равных треугольника (на четыре равновеликих
треугольника)
S1  S 2  S 3  S 4
Диагонали параллелограмма разбивают его на четыре
треугольника с равными площадями
S1  S 2  S 3  S 4
Середины сторон любого четырехугольника являются
вершинами параллелограмма, периметр которого
равен сумме диагоналей четырехугольника
KMNP - параллелограмм
PKMNP  AC  BD
Прямая, пересекающая противолежащие стороны
параллелограмма и проходящая через точку
пересечения образует пары равных треугольников
 1   2 ; S1  S 2
 3   4 ; S3  S4
Если параллелограмм и треугольник имеют общее
основание и высоту, то площадь параллелограмма
в 2 раза больше площади треугольника
1
S AKD  S ABCD
2
S ABCD  2 S AKD
ABCD – параллелограмм
M, K, N, P – середины сторон параллелограмма АВСD
MKNP – параллелограмм
S ABCD  2S MKNP
ВНО, 2010
Точка М – середина стороны квадрата ABCD.
Площадь заштрихованной части равна
7 см2. Найти площадь всего квадрата.
Решение:
Дополнительное построение:
АС – диагональ. ∆ABC, АМ – медиана.
SABM  SAMC , SABC  2SABM
S ABCD  2SABC  2  2 SABM  4 SABM
S ABCD  4  7  28 ( ñì 2 ).
2
S

28
ñì
.
Ответ: ABCD
Задачи на готовых чертежах
Найти площадь Х
1
2
Найти отношения площадей S1 : S2
Дано: ABDC - параллелограмм
44
3
S ABD  S BDC , S AED  S DEC
S1 1

S2 3
S1  S ABD  S AED , S 2  S BDC  S DEC
S1
S1  S 2 ,
1
S2