Метод областей на координатной плоскости

Метод областей на
координатной плоскости
Решение задач с параметрами
Метод интервалов на координатной прямой и метод
областей на координатной плоскости.
Точка x  a разбивает
числовую прямую на два
множества, задаваемые
неравенствами x  a и x  a
Всякая действительная кривая на
координатной плоскости, заданная
уравнением F  x, y   0 разбивает
координатную плоскость на
конечное число областей, в каждой
из которых для всех точек области
выполняется только одно из
неравенств: F  x, y   0 или F  x, y   0
Заметим, что переменные, входящие
в уравнение, задающее кривую,
могут иметь другие идентификаторы
xa
xa
xa
x
y
F  x, y   0
F  x, y   0
F  x, y   0
x
Примеры
y  kx  p
y  kx  p
Всякая прямая, заданная
уравнением y  kx  p ,
разбивает плоскость на
области, в каждой из
которых выполняется одно
из неравенств: y  kx  p или y  kx  p
Прямая, заданная уравнением x  c ,
разбивает координатную плоскость
на области, в каждой из которых
выполняется одно из неравенств:
или x  c , или x  c
y
0
y  kx  p
xc
x
y
xc
xc
x
0
y  k1x  p1
y
Решением системы неравенств
с двумя переменными являются
координаты точек пересечения
множеств, удовлетворяющих
одному из неравенств системы
0
y  k x p

1
1

 y  k2 x  p2

x
y  k2 x  p2
Задача
y
Пусть M – множество точек плоскости с
координатами  x ; y  таких, что числа x, y, 6  2 x
являются сторонами некоторого
треугольника. Найдите его площадь.
Решение. Если три числа являются
сторонами некоторого треугольника, то
это числа положительные и каждое из них
меньше суммы двух других чисел.
Поэтому, координаты точек,
удовлетворяющих условию задачи, будут
задаваться системой линейных неравенств
с двумя переменными:
0  x  3

0  x  y  6  2 x
y 0



0  y  x  6  2 x   y  3x  6


0  6  2 x  x  y
y  6 x

 y  6  3x
6
5
4
3
2
1
0
x
1
2
Находим площадь:
3
S 6
4



Уравнение y  k x  x0  y0 задает
множество прямых, проходящих через
точку с координатами x ; y .
0
0
При изменении значений параметра
прямые y  k x  x0  y0 «поворачиваются»
вокруг данной точки. При увеличении
параметра прямая поворачивается
«против часовой стрелки», при уменьшении
– «по часовой стрелке».



Уравнение y  kx  p при фиксированном
значении параметра k  k0 задает семейство
прямых, параллельных

y0  kx0  p
k 0
y0
x
0
k 0
y  k0 x
x
0

x0
y  k0 x  p, p  0
y
прямой y  k0 x , проходящей через начало
координат.
Если точка с координатами x0 ; y0
лежит «выше» прямой заданной
уравнением y  kx  p , то ее
координаты удовлетворяют неравенству
y0  kx0  p
, если же
точка лежит «ниже», то неравенству
k 0
y
y  k0 x  p, p  0
y
y0  kx0  p
x
y0  kx0  p
0
y  kx  p
Задача.
Вариант ЕГЭ-2010
Задача С-5

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых
общие решения неравенства y  2x  a и y  x  2a
являются
решениями неравенства 2 y  x  a  3 .
Решение. Общие решения двух неравенств – решение системы
этих неравенств. Так как каждое из неравенств – линейное, с
двумя переменными, то их общие решения образуют некоторое
множество точек на координатной плоскости. Границами
области при каждом значении параметра будут являться
прямые, заданные уравнениями y  2x  a и y  x  2a. Первая из
yx .
них – прямая, параллельная прямой y  2x, а вторая y
y  x  2a
0
x
y  2x  a
Рассмотрим неравенство
2y  x  a  3
Преобразуем его к виду
y  1 x  a 3
2
2
Область, в которой выполняется неравенство
расположена выше прямой
y  1 x  a 3
2
2
y  1 x  a,  3
2
2
y
y  1 x  a 3
2
2
0
x
y
y  x  2a
1
2
0
3
x
y 2x  a
Решение:
Общие решения первых двух неравенств будут
являться решениями третьего неравенства, если
точка пересечения первых двух прямых будет
лежать выше третьей прямой.
Найдем координаты точки пересечения первых двух
прямых:














x a,
y  2 x  a
3
 3x  a  0, 
y  x  2a
y  x  2a
y  5a
3





Так как точка пересечения прямых расположена
выше прямой, заданной уравнением 2 y  x  a  3 , то
10 a  1 a  a  3  a  9
3
3
8
Ответ:
9

8


;   

ГМТ на плоскости


Множество точек плоскости,
равноудаленных от данной точки
на расстояние, равное
положительной величине R,
называется окружностью.
2
  y  b   R2 , R  0
2
Множество точек, удаленных от
данной точки на положительное
расстояние, меньшее R,
называется кругом. Круг задается
неравенством
 x  a

x
Уравнением окружности
называется уравнение вида
 x  a

y
2
  y  b   R2 , R  0
2
Множество точек, лежащих вне
круга, задается неравенством
 x  a    y  b   R2 , R  0
2
y
2
x
ГМТ на плоскости

Квадратным трехчленом
относительно переменной,
называется выражение
y
y
y
ax2  bx  c, a  0



Графиком квадратного трехчлена
является кривая, называемая
параболой.
Расположение параболы зависит
от знака старшего коэффициента
и знака дискриминанта
квадратного трехчлена D  b2  4ac
Парабола разбивает плоскость на
часть, лежащую «над»
параболой и лежащую «под»
параболой. Первая задается
неравенством y  ax2  bx  c , а
2
вторая – y  ax  bx  c
x
x
y
y
y
x
x
x
x
Примеры
Постройте
неравенств:
Найдите
ГМТ, заданное системой
 x 2  y 2  16



x  y  0
площадь фигуры, координаты
точек которой, являются решением
системы неравенств
Решение:
y
6
5
4
3
2
1
2
1
0
1
2
3
x
ГМТ на плоскости

Дробно-линейной называется функция
вида
y  ax  b , c  0
y
cx  d

Графиком дробно-линейной функции
является кривая, называемая
гиперболой и состоящая из двух частей
– «ветвей» гиперболы.
ya
c
x
0


a
Прямые cx  d  0 и y 
называются
c
асимптотами графика
Асимптоты разбивают координатную
плоскость на 4 части – четверти.
График расположен либо в 1 и 3, либо
во 2 и 4 четвертях. Для определения
расположения достаточно построить
асимптоты и хотя бы одну точку
графика.
cx  d  0