Семинар №4

Семинар №4
Множества на плоскости. Задачи с параметром.
«Ты когда-нибудь видела, как рисуют множество?» – «Множество чего?» – спросила Алиса. – «Ничего,– отвечала Соня, – просто множество!»
Л. Кэрролл. Алиса в стране чудес.
Задачи для решения в классе.
1. Найдите все значения x , при котором хотя бы одно из двух выражений
Ax  x  4  x  5  x  4   8x ,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Bx   x  x  x  9   36
неотрицательно и при этом его модуль не превосходит модуля другого.
Решите неравенство x  2a  x  2a .
x2  2xx2  6x  9  a .
Найдите все значения параметра a при каждом из которых неравенство
8 x 2  20 x  16
 a верно для любого x .
4 x 2  10 x  7
Найдите все значения параметра a , при каждом из которых сумма длин интервалов,
x 2  2a 2  2x  a 2  4 x  6
составляющих решение неравенства 2
 0 не меньше 1.
x  a 2  5a  5x  a 2  4 x  6
Фигура задана на плоскости системой неравенств
 y 2  x 2 2  6 y 2  x 2    y  x 2  5 y  7 x  1  0,

 y  1  x.
Сколько интервалов на прямой y  2  x образует ортогональная проекция фигуры на
указанную прямую.
Найдите целые решения системы неравенств
m 2  n 2  16m  22n  171,

30m  n 2  252  14n  m 2 .
На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты a, b которых таковы, что система уравнений
ax  b  4 y  2,

a  4x  by  3,
bx  a  6 y  3

имеет единственное решение. Изобразите фигуру Ф и составьте уравнения всех прямых, каждая из которых проходит через точку 0,7  и имеет с фигурой Ф единственную общую точку.
На координатной плоскости рассматривается фигура М, состоящая из всех точек, координаты a, b которых удовлетворяют системе неравенств
 xy
 y  2 x,

 15

x  25
1

 .
2
2
 x  y  625 26
Изобразить фигуру М и найти её площадь.
10. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, коор-
динаты a, b которых таковы, что система неравенств




 x 2  3  a 2  b 2 x  3 a 2  b 2  0,
 2
2 x  2a  2b  25x  25a  b   0
не имеет решений. Найти площадь фигуры Ф.
Домашнее задание.
1. Найти площадь фигуры Ф, которая задана системой неравенств
 x 2  y 2  10,
2
2
 3x  3 y  3  2 y  1,

а) 
б) 3x 2  4 x  32  0,
 y  4  2 3 x ;
3x  2 y 3 y  x  10  0.

2. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты a, b которых таковы, что каждое решение неравенства




x 2  2a 2  b2 x  2b2 2a 2  b2  0
является решением неравенства
x2  a 2  b2  8 x  b2  1 a 2  9  0 .
Найти площадь фигуры Ф.
3. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств
 xy
 2 x  y,

 3
.

y 8
1


 x 2  y 2  64 10
Изобразите фигуру Ф и найдите ее площадь.
4. Найдите все значения x , при котором хотя бы одно из двух выражений
Ax  x  3  x  5  x  3   6 x ,

 


Bx   x  x  x  8   24
не положительно и при этом его модуль не превосходит модуля другого.
5. Фигура задана на плоскости системой неравенств
x 2  y 2 2  6x 2  y 2   x  y 2  7 x  5 y  1  0,

 y  1  x.
Сколько интервалов на прямой y  x  3 образует ортогональная проекция фигуры на
указанную прямую.
6. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты a, b которых таковы, что система уравнений
a  2x  by  1,

ax  b  2 y  2,
b  4x  ay  2

имеет единственное решение. Изобразите фигуру Ф и составьте уравнения всех прямых, каждая из которых проходит через точку 10,0 и имеет с фигурой Ф единственную общую точку.
7. На координатной плоскости рассматривается множество N всех точек, координаты
a, b которых удовлетворяют условию: a  b , a  3 , b  3 и таковы, что уравнение
a

 b 3 x 4  3a  b x 2 
1
0
a b
не имеет корней. Требуется установить принадлежит ли точка Р  2,1 множеству N и
найти площадь многоугольника, внутренней областью которого является множество N.
8. Для каждого числа p на координатной плоскости рассматривается множество М точек,
координаты которых удовлетворяют условиям a  0 , b  0 , a  2b  1 , 6b  2a  p и
таковы, что система уравнений
4 x 2  4 xy  py 2  a 2 ,

x  y  b
имеет два различных решения. Найти площадь многоугольника, внутренней областью
1
которого является множество М, если p   . Найти все действительные значения p ,
8
при которых множество М является внутренней областью многоугольника.
3