Вневписанная окружность треугольника
advertisement
Вневписанная окружность треугольника Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать. Г. Галилей Конструкции треугольника и окружности В C A Объект исследования : вневписанная окружность треугольника Предмет исследования : систематизация свойств вневписанной окружности для решения задач Систематизация свойств вневписанной окружности для решения задач Вневписанная окружность Оа – центр вневписанной окружности; ОаА1; ОаВ1; ОаС1 - радиусы вневписанной окружности В1 В Оа А1 А Свойство 1 С С1 Свойство 2 АВ1 = АС1 = p р – полупериметр треугольника Теорема 1 Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. Теорема 2 Радиус вневписанной окружности равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла. ra = p·tg 2 Вневписанная окружность Биссектрисы внешних или внутренних углов треугольника образуют центры окружностей касающихся прямых АВ, ВС, СА. Теорема 3 Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности ra + rb + rc = r + 4R Теорема 4 Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности 1 1 1 1 ra rb rc r Теорема 5 Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равно квадрату полупериметра треугольника rarb + rbrc + rcra = p2 Теорема 6 Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника rarbrc = rp2 Исследование расстояний между точками касания вписанной и вневписанной окружностей со сторонами треугольника Oc α A rc α NK – расстояние между точками касания окружностей к гипотенузе АN = rc· tg α; АК = . N r O C NK = K В Исследование расстояний между точками касания вписанной и вневписанной окружностей со сторонами треугольника NK – расстояние между точками касания окружностей к катету A α КМ = O r С K М N rа Оа В NМ = rа ; NМ = r ; Исследование расстояний между точками касания вписанной и вневписанной окружностей со сторонами треугольника Оа B α N ra α О A K r R r b Оb NK – расстояние между точками касания окружностей к боковой стороне равнобедренного треугольника C R – общая точка касания Вневписанная окружность Интересно, что отрезки, соединяющие центр вписанной в треугольник окружности с центрами вневписанных окружностей, делятся пополам окружностью, описанной вокруг этого треугольника Спасибо за внимание
