Теорема о нуле непрерывной функции

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
1 семестр
Лекция 7
Непрерывные функции.
23 октября 2014 года
Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Гришин Сергей Анатольевич
Основные определения, примеры
Def Функция y  f (x) непрерывная в точке x = a, если
lim f ( x)  f (a )
xa
Def Функция y  f (x) непрерывная в точке x = a, если
f  f (a  x)  f (a)  o(1)
2
Пример 1. Доказать непрерывность функции y  x в точке x  1.
y  1  x   1  x  2  x   o(1)
 sin x

,x0
разрывная в
Доказать, что функция f ( x)   x
 2, x  0
2
Пример 2.
точке x  0 и непрерывная в точках x  0.
sin x sin a a(sin x  sin a)  sin a( x  a)


 o(1)
x
a
xa
Непрерывность по Гейне
Непрерывность функции по Гейне:


 xn   D f ; lim xn  a  lim f ( xn )  f lim xn  f (a)
n 
n 
n 
Арифметическая теорема
Т.1. Пусть функции y  f (x) и y  g (x) непрерывные в точке x  a.
f ( x)
g (a)  0
Тогда функции f ( x)  g ( x), f ( x)  g ( x) и
g ( x)
непрерывные в точке x  a.
Def Функция y  f ( g ( x))
g
f
U  (a) 

U ( g (a)) 

R
называется
композицией функций y  f (z ) и z  g (x )
Пример 3 Функция y  1  x 2 является композицией функций
y
z
и z  x 2  1.
Непрерывность композиции
Т.2. Функция z  g (x ) непрерывная в точке x  a,
функция y  f (z ) непрерывная в точке z  g (a).
Тогда композиция y  f ( g ( x)) непрерывная в точке x  a.
y= f(z)
z = g(x)
a
X
Z
Y
Док.   0  1  0 :  f ( z)  f ( g (a)   , z U ( g (a))
1
  2  0 : g ( x)  g (a)  1 : x U 2 (a)
x  U  2 (a )  z  g ( x)  U 1 ( g (a ))  f ( g ( x))  f ( g (a))  
Классификация точек разрыва
Устранимый разрыв
lim f ( x)  lim f ( x)  f (a )
xa 0
xa  0
f(a)
A
a
a
Разрыв первого рода
Разрыв второго рода
a
lim f ( x)  lim f ( x)
x a 0
xa 0
- все остальное
Примеры
 sin x
, x0

Пример 1 f ( x)   x

 1, x  0
sin x
sin x
lim
 1
lim
1
x  0  x
x  0
x
1
1

f ( x)  x x  1
Пример 2
1
1

x 1 x
Преобразование:
1
-1
-1
1
1
1

xx  1 x  1
f ( x)  0
f ( x)  x x  1 

, x  1,0 lim f ( x )  1 lim
x

1
x

0
1
1 xx  1 x  1

x 1 x
Непрерывность функции на отрезке
Def Функция непрерывная на множестве X, если она
непрерывна в каждой точке этого множества.
Def Функция ограниченная на отрезке, если
 M  0 : x  a; b  f ( x)  M
Т.2
Функция непрерывная на отрезке ограничена на этом
отрезке.
Док. От противного. n  N  xn : f ( xn )  n
Выбираем сходящуюся подпоследовательность: lim xn  c  a; b 
Функция y  f (x) непрерывная в точке
ограничена в окрестности точки
x  c.
n 
xc
противоречие
Наибольшее, наименьшее значения
Def
A  inf E f  1) A  f x, x  a; b
2)   0 x  x : f ( x )  A  
Def B  sup E f
 1) f x  B, x  a; b
2)   0 x  x : f ( x )  B  
Т.3 Для любой непрерывной на отрезке a; b функции y  f (x)
существуют c1 , c2  a; b: f (c1 )  A, f (c2 )  B.
1
Док. A  inf E f  n  N x n : A  f ( x n )  A 
n
lim xn  c1  a; b 
n 
lim f ( xn )  A 
n 
f (c1 )  A
Теорема о нуле непрерывной функции
Т.4. Пусть функция y  f (x) непрерывна на отрезке a; b
и f (a)  f (b)  0. Тогда существует точка c  a;b, для
которой
f (c)  0.
Док.
1) f (a1 )  f (b1 )  0
2) f (a2 )  f (b2 )  0
n) f (an )  f (bn )  0
a; b  a1; b1   ...  an ; bn   ...   c  an ; bn   n  f (c)  0.
Продолжение доказательства
an , an  b   lim an  c1 , bn , bn  a   lim bn  c2
n 
n 
Поскольку lim(bn  an )  c2  c1  0  c1  c2  c.
n 
Из непрерывности функции в точке x  c  lim f (an )  lim f (bn )  f (c)
n 
n 
Если f (c)  0, то f ( an )  f (bn )  0, что противоречит построению an и bn .
Следствия из теоремы о нуле
Следствие 1 Любой многочлен нечетной степени имеет
действительный корень.
Док. При больших по модулю значениях многочлен сохраняет
2 k 1
,
знак одночлена наибольшей степени, т.е. a2 k 1 x
принимает значения разных знаков в точках x   a.
Тогда по теореме о нуле на отрезке  a; a многочлен
имеет корень.
Теорема о структуре области значений
Т.5. Областью значений непрерывной на отрезке функции
y  f (x) является отрезок A; B, где A  inf E f , B  sup E f .
Док. Пусть c1 , c2  a; b: f (c1 )  A, f (c2 )  B.
Рассмотрим функцию: y   ( x)  C , где C - произвольная
точка отрезка
По теореме
A; B. Тогда (c1 )  A  C  0,  (c2 )  B  C  0.
 c  c1; c2 :  (c)  0  f (c)  C  0  f (c)  C
Равномерная непрерывность
Def Функция y  f (x)
равномерно непрерывна на множестве Х:
  0     : x1 , x2  X : x1  x2    f ( x1 )  f ( x2 )  
Пример 3
2
Функция y  x непрерывна на множестве X  [0; )
но не равномерно непрерывна на нем и равномерно
непрерывна на отрезке X  0;1
Док. X  [0; )
x1  b 

2
, x2  b 

2
, b 


2
x12  x2 2  x1  x2  x1  x2     2b  


Если X   0;1 , то  = . Тогда x12  x22  x1  x2  x1  x2   2  
2
2
Теорема о равномерной непрерывности
Т.6. Всякая непрерывная на отрезке функция равномерно
непрерывна на этом отрезке.
Док. От противного:
1
1
~






  0 :    xn , xn  a; b : xn  xn  
n
n
f ( xn )  f ( xn)  ~ Из ограниченности последовательностей
xn , xn  xn 
, xn : lim xn
k 
k
k
k
 lim xnk  x0  a; b
k 
Из непрерывности функции в точке x  x0   K
k  K  f ( xn k )  f ( x0 ) 
~
2
, f ( xnk )  f ( x0 ) 
~
2

f ( xn k )  f ( xnk )  f ( xn k )  f ( x0 )  f ( x0 )  f ( xnk )  ~.
Противоречие
Колебание функции
Def
Функция
 f ( ) 
sup
x1 , x2  X : x1  x2 
f ( x1 )  f ( x2 )
переменной   0
называется колебанием функции y  f (x) на множестве X.
В примере 3 для X  0;,  f ( )  
для X  0;1
 f ( )  2
Функция равномерно непрерывна на множестве X, если
lim  f ( )  0
 0
Предел последовательности функций
 f n ( x) , x   a; b , f n ( x)  C  a; b 
x   a; b   lim f n ( x)  f ( x). Будет функция f ( x) непрерывной на  a; b  ?
n 
Ответ отрицательный.

 1
1

nx
,
x

0; 



 n
Пример. f n ( x)  
 0, x   1 ;1


 n 

0, x   0,1
lim f n ( x)  f ( x)  
 устранимый разрыв
n 
1,
x

1

Равномерная сходимость
Последовательность f n ( x) непрерывных функций на отрезке  a; b  сходится
к функции f ( x) равномерно, если
  0  N  N ( ) : x   a; b  , n  N  f n ( x)  f ( x)  
Критерий: Последовательность an  sup f n ( x)  f ( x) бесконечно малая.
x a ;b 
Т.1) lim f n ( x)  f ( x), x   a; b  , 2)  f n ( x)  сходится равномерно.
n 
Тогда f ( x)  непрерывная функция на  a; b .
Теоретические упражнения
Упр.1 Докажите, что функция y  sin x непрерывна в любой точке.
Упр.2 Приведите пример непрерывной неограниченной функции
на интервале a;b .
Упр.3 Докажите свойства функции колебаний:
1)  f  g ( )   f ( )   g ( )
2) f ( )   f ( ),   const
3)  f g ( )  sup f ( x)   g ( )  sup g ( x)   f ( )
Вопросы к экзамену
1) Непрерывность функции в точке. Арифметические теоремы о
непрерывных функциях. Непрерывность сложной функции.
2) Непрерывность функции на отрезке. Теорема об
ограниченности непрерывной функции на отрезке.
3) Теорема о наибольшем и наименьшем значении непрерывной
функции на отрезке.
4) Теорема о нуле непрерывной функции.
5) Теорема о структуре области значений непрерывной функции.
6) Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема о
равномерной непрерывности функции на отрезке.
7. Равномерная сходимость функциональной последовательности
Дистанционный курс общей физики НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Непрерывные функции.
Лекция 7
Завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Производные и дифференциалы.
Лекция состоится в четверг 30 октября
в 10:00 по Московскому времени.