Тема: «О разрешимости задач на построение» Три знаменитые классические задачи древности Трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга — вот три каверзные задачи, выдвинутые античными математиками и впоследствии ставшие синонимом неразрешимости. A D B3 N E M M1 B2 M2 B1 B F P C Квадратриса Квадратриса – плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Открыта, по сообщению Прокла Диадоха, софистом Гиппием ( v век до н. э.), использовалась в античные времена для решения задач квадратуры круга и трисекции угла. Уравнение квадратрисы в прямоугольных y x yctg координатах: 2R ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТРИСЫ Квадратура круга Квадратура круга – задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Алгебраически это означает решение уравнения: x 2 R 2 Леонардо да Винчи 15 апреля 1452- 2 мая 1519 Простейший механический способ, построения квадрата, равного по площади кругу, предложил Леонардо да Винчи. Изготовим круговой R цилиндр с радиусом основания R и высотой , 2 намажем его чернилами и прокатим по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью R 2 . Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат. Для квадратуры прямоугольника со сторонами a и b надо построить квадрат со стороной x ab (среднее геометрическое a и b). Для этого можно использовать следующий факт: если построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, то высота BH, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст их среднее геометрическое B a ab x A a b H О C b 1 D C : 2R 2R : AJ C S 1 AJ Q 4 1 2 O А J 2 R B 1 2 1 S 2 S K U 4 4 2 2 S 2R 2R 2R 2R 2 C 2R AJK ~ ABL AJ AB : ; JK BL BL 2 2 1 ; 1 ; OR QO ON 1 OR 2 2 2 L N BL Квадратриса ☼ Трисекция угла Трисекция угла, то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть ЕАВ – НЕКОТОРЫЙ УГОЛ, ТРЕТЬ КОТОРОГО НАДО ПОСТРОИТЬ. 1. 2. 3. 4. Находим точку F на квадратрисе и ее ординату А΄. Откладываем на отрезке АА΄ его третью часть; получим некоторую точку H. Находим на квадратрисе точку К с ординатой H. Проводим луч АК. Угол КАВ – искомый. A D B3 N E M M1 B2 M2 B1 B F P C Циклоида Афоризм - изречение, выражающее с предельной лаконичностью в отточенной форме оригинальную мысль. Квадратура круга Так нередко именуют любую неразрешимую задачу, все совершенно недостижимое, невозможное. Древние математики ставили перед собой задачу; при помощи одних только циркуля и линейки - тех инструментов, которыми всегда пользовались геометры, - построить квадрат, равный по своей площади тому или другому кругу. Сколько ни бились над ее решением люди в течение целых тысячелетий, ничего не выходило. И только в наше время ученые точно доказали, что эта задача вообще неразрешима. Вот мы и говорим теперь: "Попытки уничтожить безработицу в капиталистическом мире - это квадратура круга". Или: "Задача, построить корабль, который был бы одновременно и хорошим торговым и сильным военным судном, - квадратура круга". « Природа движется по кругу. Искусство — по прямой линии. Все натуральное округленно, все искусственное угловато. Человек, заблудившийся в метель, сам того не сознавая, описывает круги; ноги гражданина, приученные к прямоугольным комнатам и площадям, уводят его по прямой линии прочь от него самого. Круглые глаза ребенка служат типичным примером невинности; прищуренные, суженные до прямой линии глаза кокетки свидетельствуют о вторжении Искусства. » О. Генри. Квадратура круга О своей юности, о своих друзьях и товарищах В.П. Катаев рассказал в написанной в 1927 году пьесе " Квадратура круга", премьера которой состоялась в Московском Художественном театре в 1928 году и была названа К.С Станиславским "умной и талантливой шуткой"... В замкнутом пространстве (круге) – четверо: Вася, Абрам и их жены, Тоня и Людмила. Пространство – комната в общежитии. Обе пары поженились только что. Вася и Абрам перестали быть убежденными холостяками и холостяками вообще – одновременно, но в тайне друг от друга , оказываются перед неразрешимой задачей, своеобразной « квадратурой круга». Впрочем, несмотря на приметы времени, эта история о двух друзьях, решивших построить свою семейную жизнь вчетвером на территории одной коммунальной комнатки, во многом современна и сегодня. Ведь она о том, что волнует всех и в любом возрасте – о любви. Любви, которая не знает формальностей и преград, которая не интересуется тем, «что этично, а что неэтично». Любви, которая помогает преодолеть все невзгоды. В математике квадратура круга — задача о построении квадрата, равновеликого данному кругу. Пьеса В. Катаева к математике не имеет даже приблизительного отношения. И всё же драматург назвал её так — по аналогии. Герои Катаева — неведомо каких профессий. По сюжету они только тем и заняты, что выясняют семейные отношения, спорят, какой должна быть «ячейка общества». При этом у каждого на сей счет свои идеологические догмы и штампы. Но вот же незадача: любовь, семья не укладываются в готовые формулы, не выстраиваются «под линейку и циркуль». И сегодня веселая и искренняя пьеса Катаева продолжает свою жизнь на сцене, рассказывая о простых и вечных ценностях, о молодости и любви, о радости жизни. Анализируя материал по данной теме, мы пришли к выводу, что неразрешимость некоторых задач служит отправной точкой новых математических исследований, интригует, стимулирует и способствует развитию творчества Да, геометрия - одна из самых древних наук на земле. Но наука на то и наука, чтобы служить людям и двигать технический прогресс. 1 D A D B3 N C S 1 E Q 4 1 2 O M А M1 J 2 2 S K F S 2 M2 B1 B B 1 2 1 B2 P R U 4 C L N 4 2 S «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать» Г. Галилей 1564 - 1642 А теперь оцените свою деятельность на уроке. сегодня я узнал… было интересно… было трудно… теперь я смогу… у меня получилось … меня удивило…