2_03

2.3. Случайные распределения
Метод обратной функции. Метод фон
Неймана. Распределение Пуассона.
Нормальное распределение. Почти линейное
распределение. Двумерные распределения
Вероятность в физике
 Понятие вероятности является одним из ключевых в квантовой физике
 Современное
описание квантовых систем имеет исключительно
вероятностный характер
 Три фундаментальных распределения
 Распределение Больцмана:
 Распределение Ферми – Дирака:
 Распределение Бозе – Эйнштейна:
 При численном моделировании квантовых систем часто возникает
2
необходимость получать случайные величины с заданным законом
распределения, причем существенным моментом при этом является
эффективность алгоритма с точки зрения временных затрат
Метод обратной функции
 Функция
распределения
случайной
величины:
 Плотность распределения:
 Пусть существует обратная функция F1(y),
такая, что если 0<y<1, то y=F(x)
тогда и только тогда, когда x=F-1(y). Тогда
искомое распределение с плотностью f(x)
(R равномерно распределено на (0,1)):
3
Пример.
Экспоненциальное распределение
 Функция распределения:
 Плотность распределения:
 По методу обратной функции получаем:
 Окончательно:
2000
1500
1000
500
0
2.5
0
x 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
4
2
1.5
1
0.5
4
0
0
1
2
3
4
x
5
6
7
8
Распределение Пуассона
 Распределение Пуассона характеризует число реализаций в единицу
времени событий, каждое из которых может произойти в любой
момент
12000
10000
8000
6000
4000
2000
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
N
9
10
11
12
13
14
15
Распределение Пуассона
 Блок-схема алгоритма получения случайных чисел, распределенных по
закону Пуассона
6
Метод фон Неймана
 Случайная величина ξ определена на интервале (a,b), и ее плотность
распределения ограничена:
 Генерируются два случайных числа R1, R2, равномерно распределенные
на (0,1), и строится точка на плоскости с координатами
 Если эта точка лежит ниже кривой
y=p(x), то искомое число найдено:
 Если точка лежит выше кривой,
сгенерированная пара отбрасывается
7
Нормальное распределение
 Нормальный закон распределения случайных величин, часто также
называемый законом Гаусса, играет исключительно важную роль в
физике. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди
других законов распределения, состоит в том, что он является
предельным законом, к которому приближаются другие законы
распределения при достаточно часто встречающихся типичных
условиях
 Сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых)
случайных
величин,
подчиненных
каким
угодно
законам
распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких
ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону
 Нормальный закон распределения:
8
Нормальное распределение
 Блок-схема
алгоритма
случайных чисел
9
получения
нормально
распределенных
Нормальное распределение
 Гистограмма
нормально распределенных случайных величин,
полученная из равномерного распределения при помощи алгоритма:
2000
1500
1000
500
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
-5
-4
-3
-2
-1
x
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
1
2
3
4
5
6000
4000
2000
10
x
Почти линейное распределение
 Плотность распределения:
 Почти линейному распределению удовлетворяет целый класс функций
11
Почти линейное распределение
 Все точки, попадающие в процессе работы алгоритма в закрашенную
область, имеют почти линейную плотность распределения
a
N(x)
6000
4000
2000
0
0
0.1
0.2
N(x)
0.8
0.9
1
b
6000
4000
2000
0
0.8
0.85
0.9
0.95
1
f(x)
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
c
10
5
0
0.8
0.85
0.9
0.95
1
x
12
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
Двумерные распределения
двух случайных величин (X,Y), рассматриваемых
совместно, называется системой случайных величин. Система двух
случайных величин (X,Y) геометрически интерпретируется как
случайная точка с этими координатами на плоскости xy
 Функция распределения системы двух случайных величин:
 Совокупность
 Геометрически функция распределения
интерпретируется как вероятность
попадания случайной точки (X,Y)
в закрашенную область, ограниченную
снизу и слева только областью
определения случайных величин X и Y:
13
Двумерные распределения
 Плотность распределения системы двух случайных величин:
 Функция распределения системы случайных величин:
 Пример
 Сначала генерируем случайную величину
 Функция распределения случайной величины z:
 По методу обратной функции:
14
Двумерные распределения
 Закон распределения случайной величины x при заданном z:
 Случайная величина x распределена равномерно на интервале (0,1–z)
 Искомая система случайных величин:
 R1,
R2 – независимые случайные величины, распределенные
равномерно на (0,1)
 Вдоль линий y–x=const распределение, с точностью до статистического
разброса, является равномерным
 Для генерации двумерных распределений случайных величин
справедлив и метод фон Неймана
15
Двумерные распределения
16