i(t)

Анализ динамических
режимов работы ДПТ
Пуск двигателя
Электромеханические
переходные процессы ДПТ
При пуске, реверсе, останове, набросе
и сбросе нагрузке на валу двигателя
возникают
переходные
электромеханические
процессы,
причиной которых является наличие так
называемых инерционных накопителей
энергии. Это индуктивности обмоток
электрических машин и момента
инерции ротора и нагрузки на валу
двигателя.
Пуск двигателя постоянного тока
Для
математического
описания
процессов в ДПТ составим его схему
замещения
Электромагнитные процессы
Процессы, связанные накоплением и
изменением энергии магнитного поля
(электромагнитные процессы), можно
описать
с
помощью
уравнения
равновесия напряжения для якорной
цепи.
di (t )
U 1(t )  Rдв  i (t )  Lдв 
 Eдв (t ),
dt
Механические процессы
Механические переходные процессы
описывают уравнением равновесия
моментов (уравнением механического
равновесия):
dω(t )
M (t )  M C 1(t )  J дв 
,
dt
СДУ в нормальной форме Коши
Учитывая, что EДВ (t) =c⋅ω(t) и M(t) = c⋅i(t), а
также MC = 0 (пуск на холостом ходу),
запишем
систему
дифференциальных
уравнений в нормальной форме Коши в
виде:
1
 di (t )

U

1(
t
)

R

i
(
t
)

c

ω(
t
)


дв


 dt
Lдв


dω(t )
с


 i (t )

dt
J дв
Решение СДУ классическим
методом
Запишем матрицу коэффициентов
переменными состояния в виде:
 Rдв
 L
дв

A
 c

J
 дв
c
 
L

0 

перед
Вектор свободных членов СДУ в виде:
U

B   Lдв
 0






Вектор переменных состояний
 i (t ) 
x(t )  

ω(t ) 
Определим
матрицы A
собственные
значения
det(A − λ ⋅ E) = 0,
Где
 1 0  – единичная матрица
E 

0 1
Характеристическое уравнение в этом случае
имеет следующий вид:
2
Rдв
c
 
 
 0;
Lдв
J дв  Lдв
2
Комплексно сопряженные корни
Рассмотрим
общий
случай
сопряженных
собственных
матрицы A:
комплексно
значений
1,2  α  jβ.
Определим собственный вектор матрицы A для
значения
1,2  α+jβ.
 Rдв

c
 1   h11 
 h 21  0
 
Lдв
 Lдв


c

 h11  1  h 21  0

J дв

Примем h11 λ = 1 и найдем h2λ1 из второго
уравнения
c
c
h 2 1 

.
J  1 J  (α  jβ)
Общее решение однородной СДУ имеет
вид:
 h11  1t 
 h11  1t 
 i0 (t ) 
x0 (t )  
 N1  
  e   N 2  Im 
e ,

h
2
h
2

1
ω0 (t ) 





 1 

где N1,N2 – постоянные интегрирования.
Найдем частное решение неоднородной
СДУ при t → ∞.
 Rдв
 L
 дв
 c

J
 дв
c 

 U 

Lдв   iч   

     Lдв  .
  ωч  

0 
 0 

Найдем решение этой СЛАУ методом
Крамера

Rдв

Lдв
c

Lдв
c
J дв
0
с

;
J дв  Lдв
2
U

1  Lдв
0
2 
c

Lдв  0
0
Rдв

Lдв
U

Lдв
c
J дв
0
U c

;
J дв  Lдв
тогда
U  c  J дв  Lдв U
1
iч 
 0; ωч 

.
2

J дв  Lдв  c
c
Отметим, что принужденное значение
тока якоря равно нулю, так как двигатель
запускается на холостом ходу, а
принужденное значение скорости равно
скорости идеального холостого хода.
Общее решение СДУ
0
 h11  1t 
 h11  1t 


x(t )  x  x0 (t )  U  N1  Re 
 e   N 2  Im 
e .


 
 h 2 1 
 h 2 1 




c
Найдем постоянные интегрирования при
нулевых начальных условиях: i(0) = 0;
ω(0) = 0.
Учитывая, что
h11  1 и Re(h11 )  1, Im(h11 )  0 :
Систему уравнений можно представить:
 0
1
0
 
 N1  
 U
 
 N 2   Re(h21 ) Im(h21 )   
 c

.


Решим эту СЛАУ методом Крамера:
1


 Re(h21 )
0
1  U

c
0

  Im(h21 );
Im(h21 ) 
0
1
0
U
 0;  2 
U  ;
c
Re(h 21 ) 
Im(h 21 )
c
1
2
U
N1 
 0; N 2 

.


c  Im(h21 )
Отметим, что при работе ДПТ НВ на
холостом ходу первая постоянная
интегрирования равна нулю.
Запишем получившиеся зависимости
тока и скорости от времени.
Для этого выразим аналитические
выражения для составляющих этих
зависимостей.
ac
βc
h 2 1  
j
.
2
2
2
2
J дв  (α  β )
J дв  (α  β )
U  J дв
U
2
2
N2  
 2
 (α  β ).
c  Im(h21 ) c  β
h11  e
1 t
e
1 t
Re(h11  e )  e
h 2 1  e
1 t

 a t
 at
 cos(βt )  j  e
 a t
 sin(βt ).
1 t
 cos(βt ); Im(h11  e )  e
βсe
 at
 sin(βt )  a  c  e
2
2
J дв  (a  β )
 at
 at
 sin(βt ).
 cos(βt )
 a  с  e at  sin(βt )  β  c  e  at  cos(βt ) 
 j 
 .
2
2
J

(
a

β
)
дв



1 t
Re(h21  e ) 
1 t
Im(h21  e ) 
βсe
 at
a  с  e
 sin(βt )  a  c  e
J дв  (a 2  β 2 )
 at
 at
 sin(βt )  β  c  e
2
2
J дв  (a  β )
 at
 cos(βt )
 cos(βt )
Тогда временные зависимости тока i(t) и
угловой скорости вращения w(t) якоря
ДПТ можно записать в виде:
;
.
2
2
U

J

(
a

β
)  at
1 t
дв
i(t )  iч  i0 (t )  N 2  Im(h11  e ) 
 e  sin(βt )
2
c β
 at
 at
U U  a  с  e  sin(βt ) U  e  cos(βt )
ω(t )  w  w0 (t )  

.
c
c β
c
Проиллюстрируем
динамику
на
конкретном
двигателе
типа
2ПФ200LУХЛ4
со
следующими
параметрами:
– номинальная мощность: РН=15 кВт;
– номинальное напряжение: UН=220 В;
– номинальное значение скорости вращения
двигателя nном=750 об/мин;
- максимальное значение скорости вращения
двигателя nmax= 2500 об/мин;
– КПД: η = 82,5%;
– сопротивление обмотки якоря при
температуре 150С:
- R OЯ = 0,125 Ом;
– сопротивление обмотки дополнительных
полюсов при температуре 150С: R ДП = 0,08
Ом;
– индуктивность двигателя: L ДB = 0,046 Гн;
– момент инерции двигателя: J ДВ = 0,3 кг ⋅м 2 .
Графики i(t) и ω(t) при пуске ДПТ НВ на
холостом ходу