МА_МИ21,ФИ21_Каримов Р.Х

«Утверждено»
на заседании кафедры
математического анализа
«___»___________2012
Зав.каф._____________ Калиев И.А.
Вопросы и задачи
к экзамену по математическому анализу для студентов 2 курса
(спец. Математика и информатика, физика и информатика гр МИ21, ФИ21,
2012-2013 уч.год)
Сост. Каримов Р.Х.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Определение n-мерного пространства R n .
2. Сходимость последовательностей точек в n-мерном пространстве.
3. Различные типы множеств. Компакты.
4. Предел функции двух переменных.
5. Предел отображений. Свойства пределов отображений
6. Непрерывность отображений в точке. Предел и непрерывность композиции
отображений
7. Повторные пределы.
8. Непрерывные отображения компактов. Равномерная непрерывность отображений.
9. Непрерывное отображение линейно связных множеств.
10. Непрерывные отображения: общие свойства.
11. Частные производные.
12. Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Вывод уравнения.
13. Дифференцируемость функций многих переменных.
14. Дифференцирование сложной функции.
15. Инвариантность формы полного дифференциала функции двух переменных.
16. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.
17. Применение полного дифференциала в приближённых вычислениях.
18. Производная по направлению. Градиент.
19. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных
производных.
20. Дифференциалы высших порядков функции двух переменных.
21. Формула Тейлора для функций двух переменных.
22. Формула Тейлора для функций любого числа переменных.
23. Экстремумы функций многих переменных. Необходимые условия экстремума
24. Экстремумы функций многих переменных. Достаточные условия экстремума.
25. Неявная функция. Теорема о существовании и единственности неявной функции,
заданной уравнением F ( x, y )  0 .
26. Декартово произведение множеств. Неявные функции, задаваемые системой
уравнений.
27. Свойства якобианов отображений.
28. Непрерывно дифференцируемые отображения.
29. Условный экстремум. Прямой метод отыскания точек условного экстремума
30. Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
31. Геометрическая интерпретация метода Лагранжа.
32. Достаточные условия для условного экстремума.
Задачи к экзамену
В задачах 1-5 дана функция z=f(x,y). Найти: 1) полный дифференциал dz; 2) частные
2z
2z
2z
производные второго порядка
и
;
2)
смешанные
частные
производные
и
y 2
x 2
xy
2z
.
yx
1.
z
tgx
.
y
2.
y
arccos .
x
3.
z  xy .
4.
z  ln x 2  4 y .
2
6. Дана функция z  arcsin
5.
x
arcctg .
y
x y
. Показать, что
x y
z
z
x y
 0.
x
y
x
7. Дана функция z  e y . Показать, что
 2 z z z
y

 .
xy y x
xy
8. Дана функция z 
. Показать, что
x y
z
z
x y
 0.
x
y
y
9. Дана функция z  x ln . Показать, что
x
z
z
x y
 z.
x
y
10. Дана функция z 
y2
xy
. Показать, что
x2
2
2z
2  z

y
 0.
x 2
y 2
В задачах 11-15 дано уравнение поверхности в неявном виде F (x,y,z)=0. Составить
уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к данной поверхности в точке М
(x0;y0;z0), если абсцисса х0 и ордината у0 этой точки заданы.
11.
4 xy 2 z  x 3 y  x 3 z  4 y  0, x0  2,
y 0  1.
12.
x 2 z  xyz  y 2  x  3  0, x0  2,
y 0  3.
13.
x 3 y  4 xyz  y 2 z  x  3  0, x0  1,
14.
yz  x 2  2 xz  1  0, x0  3,
15.
xyz  x 2  y 2 z  y 3  1  0, x0  1,
y 0  4.
y 0  2.
y 0  2.
В задачах 16-20 дана функция z=f(x,y) и точки Р1(х1;у1) и Р2(х2;у2). Найти
приближенное значение данной функции в точке Р2(х2;у2), исходя из ее точного значения
в точке Р1(х1;у1) и заменяя приращение z, соответствующим дифференциалом dz, т.е.
применяя формулу
f ( x2 , y 2 )  f ( x1 , y1 )  [dz ] x  x1 .
y  y1
x
,
y
16.
z  arctg
17.
z  3 2 x 2  y 2  1,
18.
z  ln 5 x 2  y 2 ,
19.
z  x y,
20.
z  4 4x 2  y 2  4 y ,
P1 (2;2), P2 (1,92;2,12).
P1 (6;3), P2 (6,14;3,16).
P1 (1;2), P2 (1,02;1,85).
P1 (1;4), P2 (1,05;3,94).
P1 (2;4), P2 (1,96;4,16).
В задачах 21-30 найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в
замкнутой области.
21. z  x 2  y 2  4 xy  4 в квадрате 0х4, 0у4.
22. z  x 2  4 xy  y 2  6 x  2 y в треугольнике, ограниченном осями Ох и Оу и
прямой у=4-х.
23. z  x 2  2 y 2  4 xy  1 в квадрате -1х1, 0у2.
24. z  x 3  y 3  3xy в квадрате 0х4, 0у4.
25. z  x 2  2 y 2  4 xy  6 x  5 в треугольнике, ограниченном осями Ох и Оу и прямой
х+у=3.
26. z  2 x 3  4 x 2  y 2  2 xy в области, ограниченной параболой у=х2, прямой у=4 и
осью Оу (х0).
27. z  x 2  xy  3х  у в прямоугольнике 0х2, 0у3.
28. z  x 2  2 xy  3 в области, ограниченной параболой у=4-х2и осью Ох.
29. z  x 2  2 хy  y 2  2 x  2 у  3 в треугольнике, ограниченном прямыми у=0, х=2,
у=х+2.
30. z  x 2  y 2  6 x  4 у  2 в прямоугольнике 0х4, -3у2.
В задачах 31-40 данную функцию z=f(x,y) исследовать на экстремум.
31.
z  xy  x 2  2 y 2  x  10 у  8.
32.
z  3x 2  3xy  y 2  6 x  2 у  1.
33.
z  3xy  x 2  4 y 2  4 x  6 у  1.
34.
z  3x 2  3 y 2  5xy  4 x  7 у  5.
35.
z  3xy  x 2  3 y 2  6 x  9 у  4.
36.
z  x 2  y 2  3xy  x  4 у  1.
37.
z  x 2  y 2  xy  x  у  2.
38.
z  3x 2  3 y 2  5xy  x  у  5.
39.
z  x 2  2 xy  y 2  6 x  10 у  1.
40.
z  4  5 x 2  y 2  4 xy  4 x  2 у.
41. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
f  x, y   lnsin x  arccos  x  y 
f  x, y   arccoslog3  xy  1
42. Нарисуйте линии уровня функции
z  max e y , x



z  min e x , y

43. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z  4  x 2  y 2 , D :  1  x  1 1  y  1
z  1  x2  y 2 ,
f
D : 0  x 1 , 0  y 1
f
44. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
( y 3  x)
z  cos
x
z  tg
y2  x
y
45. Найдите частные производные  f s ,  f st ,  f t дважды
2
2
2
2
2
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
t
x ,
s
y  s t
x
1 ,
y  t s
s t
46. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
z3  x2 y  y3z  6x  46  0 ,
M  0, 3, 2 
x3  6 z3x2  y 2 z 2  y5  0 ,
M  0, 1, 1
47. Найдите градиент функции f в точке М
f  x, y   1  x 2 y x , M  1,1
f  x, y   y  x y ,
M  2,1
48. Исследуйте функцию u  u ( x, y, z ) на экстремум
u  x2  y 2  2z 2  yz  2z  3 y
3
u  2 x2  y 2  z 2  xy  2 xz  yz  y  2 z
2
49. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном
множестве
2
u  x  y 2  xy ,
x  y 1
u  x 2  2 y  1, x  y  1 , x  0 , y  0