Тема: Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного

Математический анализ
Раздел: Теория функций комплексного переменного
Тема: Функции комплексного переменного.
Предел и непрерывность фкп
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§3. Функция комплексного переменного
1. Основные определения
Пусть D,E – множества комплексных чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если zD поставлен в соответствие
элемент wE (один или несколько), то говорят, что на
множестве D задана функция (отображение) с
множеством значений E.
Записывают: f: D  E,
w = f(z)
(где f – закон, осуществляющий соответствие)
Называют: D – множество определения функции
z (zD) – аргумент (независимая переменная)
E – множество значений
w (wE) – зависимая переменная (функция)
Если z  w , то функцию называют однозначной.
Если z  w1, w2, … wn, …, то функцию называют многозначной.
Пусть задана функция w = f(z) .
Если z = x + iy , w = u + iv , то
u = u(x,y) , v = v(x,y) .
Таким образом,
f(z) ↔ u(x,y) , v(x,y) .
Функции u(x,y) и v(x,y) называются соответственно действительной и мнимой частью функции f(z)
Обозначают: Ref(z) и Imf(z).
Т.к. f(z) характеризуют 4 переменные (x, y, u, v), то геометрическая интерпретация f(z) невозможна.
Для геометрической иллюстрации f(z) используют 2 экземпляра
комплексных плоскостей: O1xy и O2uv (DO1xy , EO2uv).
Задание функции f(z) устанавливает соответствие между двумя
множествами D и E:
z  w, где zD, wE .
При этом устанавливается и обратное соответствие: w  z .
Функция z = (w) называется обратной к f(z).
Если f(z) и ее обратная (w) – обе однозначны, то функция f(z)
называется однолистной.
2.Элементарные функции комплексного переменного
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется
функция, которая может быть задана одной формулой
w = f(z), где f(z) – выражение, составленное из основных
элементарных функций и комплексных чисел с помощью
конечного числа операций сложения, вычитания, умножения,
деления и взятия функции от функции.
ОСНОВНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ Ф.К.П.
1) Степенная: w = zn (nℕ).
Свойства функции
а) D = ℂ̅ , E = ℂ̅ (n = );
б) однозначная, неоднолистная.
2) Корень n-степени (nℕ): w  n z
Свойства функции
а) D = ℂ̅ , E = ℂ̅
б) многозначна zℂ̅\{0;} .
3) Показательная функция: w = ez ≝ ex  (cosy + isiny) .
Свойства функции
а) D = ℂ , E = ℂ\{0};
б) ez | z = x = ex ;
в) ez – периодическая, T = 2i .
4) Тригонометрические функции:
w = cosz , w = sinz , w = tgz , w = ctgz .
Свойства w = cosz , w = sinz
а) D = ℂ , E = ℂ;
б) cosz | z = x = cosx , sinz | z = x = sinx ;
в) периодические, T = 2 ;
г) неограниченные;
д) cosz – четная, sinz – нечетная;
е) имеют только действительные нули
cosz = 0 при z = /2 + k ,
sinz = 0 при z = k .
Свойства w = tgz , w = ctgz
а) D(tgz) = ℂ\{/2 + k} , E(tgz) = ℂ ,
D(ctgz) = ℂ\{k} , E(ctgz) = ℂ ;
б) tgz | z = x = tgx , ctgz | z = x = ctgx ;
в) периодические, T =  ;
г) нечетные;
д) имеют только действительные нули
ctgz = 0 при z = /2 + k ,
tgz = 0 при z = k .
6) Гиперболические функции: chz , shz , thz , cthz .
Свойства w = chz , w = shz
а) D = ℂ , E = ℂ;
б) chz | z = x = chx , shz | z = x = shx ;
в) периодические, T = 2i ;
г) chz – четная, shz – нечетная;
д) справедливы равенства (доказать самостоятельно):
ch2z – sh2z = 1
ch(z1 + z2) = chz1  chz2 + shz1  shz2
 ch2z = ch2z + sh2z ;
sh(z1 + z2) = shz1  chz2 + chz1  shz2
 sh2z = 2shz  chz ;
ch(x + iy) = chx  cosy + i  shx  siny ;
sh(x + iy) = shx  cosy + i  chx  siny .
Свойства w = thz , w = cthz
а) D(thz) = ℂ\{(/2 + k)i} , E(thz) = ℂ ,
D(cthz) = ℂ\{ki} , E(cthz) = ℂ ;
б) thz | z = x = thx , cthz | z = x = cthx ;
в) периодические, T = i ;
г) нечетные.
7) Натуральный логарифм: w = Lnz :
Lnz = ln|z| + i  Argz = ln|z| + i  argz + i  2k .
Многозначная функция, определенная на ℂ\{0}.
Функция lnz = ln|z| + i  argz называется главным значением
логарифма.
8) Обратные тригонометрические:
Arcsinz , Arccosz , Arctgz , Arcctgz .


Arcsin z  i Ln iz  1  z 2 ,


Arccos z  i Ln z  z 2  1 ,
i  iz  1 
i  1  iz 
Arctg z   Ln 
 . ( z  i )
 , Arcctg z   Ln
2  iz  1 
2  1  iz 
9) Общая степенная: w = zμ , где μℂ .
Многозначная функция, определенная на ℂ\{0} формулой
w = zμ ≝ eμ  Lnz .
Функция w = eμ  lnz называется главным значением общей
степенной функции.
10) Общая показательная: w = az , где aℂ\{0} .
Многозначная функция, определенная на ℂ формулой
w = az ≝ ez  Lna .
Функция w = ez  lna называется главным значением общей
показательной функции.
§4. Предел и непрерывность функции
комплексного переменного
1. Предел функции комплексного переменного
Пусть f(z) определена в некоторой окрестности точки z0ℂ̅,
кроме, может быть, самой точки z0 .
U*(z0, ) = U(z0, ) \ {z0} – проколотая окрестность точки z0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (по Коши, на языке -).
Число w0ℂ называется пределом функции f(z) при z
стремящемся к z0 (пределом функции f(z) в точке z0), если
>0 >0 такое, что
если zU*(z0, ), то f(z)U(w0, ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (по Гейне, на языке последовательностей).
Число w0 ℂ называется пределом функции f(z) при z
стремящемся к z0, если для любой последовательности {zn}
значений аргумента, стремящейся к z0, соответствующая
последовательность значений функции {f(zn)} сходится к w0 .
ТЕОРЕМА 1. Определение предела функции по Гейне и по Коши
эквивалентны.
Обозначают: lim f ( z )  w0 ,
f ( z )  w0 , ïðè z  z0
z  z0
Пусть f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0 .
Из определения 2 и теоремы 1 §2 получаем, что справедлива
следующая теорема
ТЕОРЕМА 2. Число w0 = u0 + iv0 является пределом функции
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) при z  z0 
lim u ( x, y )  u 0
x  x0
y  y0
è
lim v( x, y )  v0
x  x0
y  y0
Из теоремы 2 следует, что на пределы ф.к.п. переносятся все
свойства пределов функций нескольких переменных.
2. Непрерывность функции комплексного переменного
Пусть f(z) определена в некоторой окрестности точки z0ℂ .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(z) называется непрерывной в
точке z0 если справедливо равенство
lim f ( z )  f ( z0 ) .
z  z0
(1)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке -).
Функция f(z) называется непрерывной в точке z0 если
>0 >0 такое, что
если
zU(z0, ) (т.е. | z – z0 | < ),
то
f(z)U(f(z0), ) (т.е. | f(z) – f(z0) | <  ).
Функция, непрерывная в каждой точке множества Gℂ,
называется непрерывной на множестве G.
Пусть f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0 .
Из теоремы 2 получаем, что справедлива следующая теорема
ТЕОРЕМА 3. Функция f(z) непрерывна в точке z0  функции
u(x,y) и v(x,y) непрерывны в точке M0(x0 ,y0) .
Из теоремы 3 следует, что на непрерывные ф.к.п. переносятся
все свойства непрерывных функций нескольких переменных.
В частности, для ф.к.п. будет справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 4 (аналог теоремы Вейерштрасса для ф.к.п.)
Пусть Dℂ, D – замкнутое и ограниченное, f(z) – непрерывна на D.
Тогда 1) f(z) ограничена на D, т.е. M > 0 такое, что
| f(z) | < M , zD ;
2)модуль функции f(z) достигает в D наибольшего и
наименьшего значения