Комплексный анализ

КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
1 год, 3 курс, отделение математики
1. Комплексные числа, комплексная плоскость. Множества на плоскости, области и кривые. Стереографическая проекция, сфера Римана, расширенная комплексная плоскость.
2. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Дифференцируемость по комплексному переменному, условия Коши-Римана. Аналитическая (голоморфная) функция.
3. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Конформное отображение,
понятие о теореме Римана.
4. Элементарные функции, их основные свойства, применение их к конформным отображениям (целая линейная и дробно-линейная функции, общий вид дробно-линейного
отображения круга на себя и верхней полуплоскости на круг; экспонента и логарифм, степень с произвольным показателем, понятие о римановой поверхности на примерах логарифмической и общей степенной функции; функция Жуковского; тригонометрические и
гиперболические функции).
5. Интеграл по комплексному переменному, его простейшие свойства, связь с криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода. Сведение к интегралу по действительному переменному. Первообразная функция, формула Ньютона-Лейбница. Переход к пределу под
знаком интеграла.
6. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Интегралы типа Коши.
7. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций, формулы Коши для
производных. Теорема Мореры.
8. Последовательности и ряды аналитических функций. Теорема Вейерштрасса. Пространство функций, аналитических в области.
9. Степенные ряды. Разложение аналитической функции в степенной ряд, единственность разложения, неравенства Коши для коэффициентов. Теорема Лиувилля. Действия со
степенными рядами.
10. Теорема единственности для аналитических функций. Нули аналитической функции, порядок нуля.
11. Ряд Лорана, область его сходимости. Разложение аналитической функции в ряд
Лорана, единственность разложения, формулы и неравенства Коши для коэффициентов.
12. Теорема об устранимой особой точке. Изолированные особые точки однозначного
характера, их классификация. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса, понятие о теореме Пикара. Бесконечно удаленная точка как особая.
13. Вычеты, формулы для их вычисления. Теоремы Коши о вычетах.
14. Применение вычетов к вычислению интегралов. Лемма Жордана.
15. Логарифмический вычет, принцип аргумента. Теорема Руше.
16. Теорема Гурвица. Сходящиеся последовательности однолистных функций.
I7. Локальное обращение аналитической функции. Принцип сохранения области.
Принцип максимума модуля. Лемма Шварца.
18. Критерий локальной однолистности (обратный принцип соответствия границ).
Дробно-линейность однолистных конформных отображений круговых областей друг на
друга.
19. Аналитическое продолжение. Полная аналитическая функция, ее риманова поверхность и особые точки. Теорема о монодромии.
20. Аналитическое продолжение через границу области. Принцип симметрии, его применение к конформным отображениям.
21. Модулярные функции. Малая теорема Пикара.
22. Компактные семейства аналитических функций, принцип компактности (теорема
Монтеля).
23. Теорема Римана о конформных отображениях. Условия единственности конформного отображения.
24. Целые функции, их порядок и тип. Произведение Вейерштрасса. Мероморфные
функции; функции, мероморфные в расширенной плоскости.
25. Гармонические функции, их связь с аналитическими функциями. Бесконечная
дифференцируемость гармонических функций, теорема о среднем, теорема единственности, принцип максимума и минимума, инвариантность гармоничности при голоморфной
замене переменных, теорема Лиувилля и теорема Харнака об устранимой особой точке,
интегралы Пуассона и Шварца, разложение гармонических функций в ряды, связь с тригонометрическими рядами, задача Дирихле и применение конформных отображений для
ее решения, гидромеханическое истолкование гармонических и аналитических функций.
Литература
1. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. M., 1978.
2. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. M., 1984.
3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.
М., 1987.
4. Евграфов М.А., Сидоров Ю.B., Федорюк М.В., Шабунин М.И., Бежанов К.А. Сборник
задач по теории аналитических функций. M., 1972.
5. Леонтьева Т.А., Панферов З.С., Серов B.C. Задачи по теории функций комплексного переменного. М., изд-во МГУ, 1992.
6. Долженко Е.П., Николаева С.Н. Теория функций комплексного переменного. Методические указания. М., изд-во МГУ, 1988.
Дополнительная литература
1. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.,
1972.
2. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. T 1, 2. M., 1967.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 3., ч. 2. M., 1974.
4. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. М., 1974.
5. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного
переменного. М., 1976.
6. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Т. 1. М., 1986.
7. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М., I975.