Введение • Методы численного решения математических задач всегда составляли неотъемлемую часть математики и неизменно входили в содержание естественно-математического и инженерного образования. Технологическая цепочка вычислительного эксперимента включает в себя следующие этапы: • построение математической модели исследуемого объекта (сюда же относится и анализ модели, выяснение корректности поставленной математической задачи; • построение вычислительного алгоритма метода приближенного решения поставленной задачи и его обоснование; • программирование алгоритма на ЭВМ и его тестирование; • проведение серии расчетов с варьированием определяющих параметров исходной задачи и алгоритма; • анализ полученных результатов; Источники и классификация погрешностей • Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами: • 1. Математическое описание задачи является неточным, в частности, неточно заданы исходные данные описания (неустранимая погрешность ). • 2. Применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому вместо получения точного решения приходится прибегать к приближенному (погрешность метода). • 3. При выполнении арифметических операций на ЭВМ или любым другим образом, как правило, производятся округления (вычислительная погрешность). • Определение. Под ошибкой или погрешностью приближенного числа a понимается разность между точным числом A и его приближенным значением a A a • Определение. Абсолютной погрешностью приближенного числа a называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом A и числом a Aa • Здесь следует различать два случая: • Число A известно, тогда абсолютная погрешность определяется по формуле. • Число A неизвестно, что практически бывает чаще всего. В этом случае полезно вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности ввести ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность. • Определение. Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа. • Таким образом, если a - предельная абсолютная погрешность приближенного числа a, заменяющего точное число A, то A a a a a A a a • • a a - приближение числа A по a a - приближение числа A по недостатку избытку. • Абсолютная погрешность или предельная абсолютная погрешность недостаточна для характеристики точности измерения или вычисления. • Определение. Относительной погрешностью приближенного числа a называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа A A • Определение. Предельной относительной погрешностью a данного приближенного числа a называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа. • По определению имеем a a Aa A a A a • На практике обычно принимают A = a, тогда вместо предыдущей формулы используют формулу a a a • Отсюда, зная предельную относительную погрешность получают границы для a точного числа: a(1 a ) A a(1 a ) • что условно записывают в виде A a(1 a ) • Определение. Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. • Определение. Цифра называется верной, если абсолютная погрешность приближенного числа не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана цифра.