Элементы теории погрешностей

Бюджетное профессиональное образовательное учреждение Омской области
«Омский авиационный колледж имени Н.Е. Жуковского»
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ПОГРЕШНОСТЕЙ
Подготовил преподаватель
Смирнова Е.Е.
Источники погрешностей:
1 математическое описание задачи является неточным,
приближенным
2 применяемый для решения поставленной математической
задачи метод не является точным
3 производятся округления
Классификация погрешностей:
погрешность задачи
1 погрешность задачи
погрешность математической модели
2 погрешность метода
3 вычислительная погрешность
Полная погрешность
результата решения задачи
1 погрешность задачи
2 погрешность метода
3 вычислительная погрешность

Приближенные значения числа
 приближенное
значение числа
-
число, представляемое конечной десятичной дробью,
полученной в результате обрывания бесконечной
десятичной дроби

 приближенное значение числа х -
число а , если а в определенном смысле
мало отличается от х и заменяет х в вычислениях
xa
  3.14159...
3.1
3.14
3.142
Погрешность
 Погрешность -
величина, характеризующая точность результата
 Погрешность приближенного значения а числа х -
a  x  a
Если  x  0 , то а взято с недостатком
Если  x  0 , то а взято с избытком
 абсолютная погрешность -
модуль погрешности
x
 Относительная погрешность приближенного значения а числа х
wa 
a
,a  0
a
 Граница погрешности приближенного значения а числа х всякое неотрицательное число hа, которое не меньше модуля погрешности:
 a  ha
 приближение а приближает число х с точностью до hа , если
a  ha  x  a  ha
Пример 1.
а=0,273
hа =0,001
x  a  ha
0,272  x  0,274
Пример 2. Округлить до десятых число 27,52 и найти абсолютную
погрешность и относительную погрешность округления
a  x  a  27.52  27.5  0.02
a 
 a 0.02
1


a 27.5 1375
x  a  ha
Правила округления:
1 Если отбрасываемый разряд меньше 5, то предшествующая ему цифра
в числе не меняется (округление с недостатком).
2 Если отбрасываемый разряд больше 5, то предшествующая ему цифра
в числе увеличивается на 1 (округление с избытком).
3 Если отбрасываемый разряд равен 5, то по общепринятому соглашению
предшествующая ему четная цифра в числе не меняется, а нечетная цифра
увеличивается на 1
Примеры.
1) х=2,967393
округлить до 5 знаков после запятой
а=2,96739
2) х=2,967393
округлить до 4 знаков после запятой
а=2,6974
3) х=3,965
х=3,915
округлить до 2 знаков после запятой
х=3,96
х=3,92
Значащие цифры
 Значащие цифры в десятичной записи числа все его цифры кроме нулей, записанных слева от первой цифры не равной 0
Примеры:
1) х=2,396029
2) х=0,00267
x  2.67 103
3) х=0,02000
x  0.02
4) х=2270000
x  2.27 106
Верные цифры
 Значащая цифра называется верной, если
абсолютная погрешность числа не превосходит ½ единицы разряда,
соответствующей этой цифре:
1 
a  10
2
 все цифры, стоящие справа от верной цифры - верные
все остальные цифры называются сомнительными
Примеры:
1) а=12,396 и
a  0.03
2) а=0,037862 и
3) а=4,193785 и
a  0.007
a  0.0004
верные цифры - 1. 2,3, сомнительные - 9 , 6
все цифры сомнительные
Вычисления без учета погрешностей
 Принцип Крылова А.Н.
приближенное число должно записываться так, чтобы в
нем все значащие цифры, кроме последней, были верными
и лишь последняя была бы сомнительна, и при том
в среднем не более чем на одну единицу
Правила выполнения арифметических действий
над приближенными числами
1) при сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует
сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном
с наименьшим количеством десятичных знаков
2) при умножении и делении в результате следует сохранять столько
значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим
числом значащих цифр
3) результаты промежуточных вычислений должны иметь один-два запасных
знака (которые затем должны быть отброшены)
4) При возведении приближенного значения в квадрат или куб, при извлечении
квадратного или кубического корня, в результате следует оставлять столько
значащих цифр, сколько их имеет основание
Правило сложения приближенных чисел:
Пример. S = 2,17+12,3971+1,198683+0,006732
1) среди слагаемых выбрать наименее точное (имеет
наименьшее число разрядов после запятой) - 2,17
2) все остальные слагаемые округлить, сохраняя один запасной
разряд, следующий за последним разрядом выделенного
слагаемого - 12,3971, 1,1987, 0,0067
3) сложить полученные после округления числа - S=15,7725
4) округлить полученный результат до предпоследнего
разряда - 15,772
Ответ :
S  2.74  0.78  27 / 1  0.28  30.90  30.9
Правило умножения приближенных чисел:
Пример. S=2,25 х 1,0113
1) выделить сомножитель, содержащий наименьшее число значащих
цифр – 2,25
2) округлить остальные сомножители, оставляя на одну значащую цифру
больше, чем в выделенном сомножителе – 1,011
3) произвести умножение (деление) – 2,27475
4) округлить полученный результат, сохраняя столько значащих цифр,
сколько их в выделенном сомножителе – S=2,27
Ответ:
S  2.25x1.0113  2.27475  2.27
Контроль знаний
1
2
Результатом округления числа 3.9156 до сотых будет
А) 3.91
Б) 3.92
В) 3.915
Г) 3.9
Значащими цифрами в записи десятичного числа называются
А) все цифры после запятой
Б) все его цифры кроме нулей, записанных справа от первой цифры
не равной 0
В) все его цифры кроме нулей, записанных слева от первой цифры
не равной 0
Г) все цифры, стоящие слева от верной цифры
3 Сколько значащих цифр в записи приближенного числа
а=0.001004506
А)
Б)
В)
Г)
4
7
9
10
Контроль знаний
4
Приближенное значение а числа х взято с недостатком, если
погрешность …
А) равна 0
Б) меньше 0
В) больше 0
Г) не равно
5
Пусть приближенное число равно 9.999785.
Погрешность приближения равна 0.0004.
Сколько верных цифр в записи приближенного числа?
А) 3
Б) 4
В) 6
Г) 7
Ответы к тесту
1)
2)
3)
4)
5)
Б
В
Б
В
Б