Лекция 5

Лекция 5
Электромагнитная природа
света.
Шкала ЭМВ
Свойства волн
• Опыт показывает, что
электродинамическая постоянная с,
входящая в уравнения Максвелла,
совпадает со скоростью света.
• Скорость распространения ЭМВ в
вакууме совпадает со скоростью света
v
c

(v=c, ==1).
Свойства волн
• ЭМВ - волны поперечные, т.е.
электрический и магнитный вектора 
направлению распространения волны.
• Световые и ЭМВ обладают
поляризацией.
Это совпадение существенных
свойств световых и ЭМВ дает
возможность утверждать, что
световые волны - это ЭМВ и
отличаются от невидимых
радиоволн лишь своей длиной
волны.
1 нм = 10-9 м = 10-9
o
1 мкм = 10-6 м = 103 нм = 104 A
400 - 450 нм
450 - 480 нм
480 - 510 нм
510 - 560 нм
560 - 590 нм
590 - 620 нм
620 - 760 нм
Фиолетовые
Синие
Голубые
Зеленые
Желтые
Оранжевые
Красные
Рентген. 0.01 нм - 100 нм
УФ
100 - 400 нм
Видимое 400 - 760 нм
ИК
760 нм - 2 мм
БИК – ближнее ИК – 0.76 – 2.5 мкм
СИК – среднее ИК – 2.5 – 50 мкм
ДИК – дальнее ИК – 50 – 2000 мкм
Интегральная форма уравнений
Максвелла
Уравнения электродинамики
справедливы для произвольных
неоднородных сред: , ,  могут
быть произвольными функциями
координат.
В случае наличия поверхностей
раздела сред (слоев) можно говорить
о разрыве величин , , , тогда
лишается смысла дифференциальная
форма исходных уравнений,
требующая существования
производных величин


D и B
Для установления характера поведения
векторов на границе можно
воспользоваться интегральной формой
исходных уравнений, которые
сохраняют свое значение и в случае
разрыва подинтегральных выражений.

 4  1 D
rotH 
j
c
c t
Для получения интегральной формы
этого уравнения выберем замкнутый
контур l и вычислим поток левой и
правой частей через произвольную
(незамкнутую) поверхность S,
опирающуюся
на
контур
l.
Поток

ротора H преобразуем с помощью
теоремы Стокса в циркуляцию вектора

H по контуру l.

4 
1 D n 
rot
H
dS

j

dS


n
n
S

c S
4 t 

 
rot
H
dS

H
d

теорема Стокса
n


S

  1 Dn
4
H
d


dS



c S t
c

S
j n ds
(I)
Аналогично и для уравнения:


1 B
rotE  
c t
 
1 Bn
 Ed    c S t dS

divD  4
(II)
Проинтегрируем обе части этого
уравнения по объему V,
ограниченному замкнутой
поверхностью S, и преобразуем
объемный интеграл в левой
части в поверхностный с
помощью математической
теоремы ОстроградскогоГаусса:

 divDdV   Dn dS
V
S

 divDdV  4  dV
V
V
 D dS  4  dV
n
S
V
(IV)
Аналогично:

divB  0
B
dS

0
n

S
и
(III)
Граничные условия
Рассмотрим уравнение (II) и
устремим длины сторон
контура интегрирования AD и
BC к нулю, чтобы в пределе
стороны АВ и DС совпали на
границе. Тогда циркуляция
вектора E в левой части (II)
сводится в пределе к….
E1   E2 

где E1 и
-проекции векторов E
в первой и второй средах
на

E 2
направление вектора  ,
параллельно границе (стороне
АВ),

а поток вектора B
в правой части
обращается в нуль, т.к. площадь
охватываемой контуром
поверхности стремится к нулю.
Следовательно,
E1  E2
Аналогично и для H 1 и H 2
(при отсутствии поверхностных

токов на границе, j  0 , см.
уравнение (I))


Поскольку вектор
может
иметь любое направление в
плоскости границы (два
независимых компонента), то
получаем четыре независимых
граничных условия, которые
справедливы для любых
непрерывных сред.
Из уравнений Максвелла (III) и
(IV) можно получить еще два
граничных условия, которые
выражают непрерывность
нормальных
составляющих


векторов B и D на границе:
B1n  B2 n
D1n  D2 n
• 1. Для монохроматических полей граничные
условия для нормальных составляющих не дают
ничего нового: они выполняются автоматически
при соблюдении условия для тангенциальных
составляющих.
• 2. Необходимо дополнительное предположение
- условие излучения: возбуждаемое тело
порождает лишь уходящие от него волны, дает
критерий отбора решений, имеющих
физический смысл.
В задаче о преломлении на
границе полубесконечной среды
физический смысл имеет
решение, основанное на
предположении о наличии
только трех волн: падающей,
отраженной и преломленной.
Итак, граничные условия
имеют вид:
H1  H2 
E1  E 2 
B1n  B2 n
H1n  H2 n
1   2  1
1 E1n   2 E 2 n
Отражение и преломление
ЭМВ на границе двух
прозрачных диэлектриков
При падении на границу
раздела двух изотропных
однородных диэлектриков
плоской ЭМВ, от границы
раздела, как показывает опыт,
распространяются две плоские
волны – отраженная и
преломленная.
Уравнения этих волн:
 

E  A exp  i t  knr 
r 
 
E  Re xp i  r t  k r nr r 
d 
 
E  D exp i d t  kd nd r 
(1)
Результирующая
напряженность поля в 1-й среде
равна:

 r
E1  E  E
а во второй:

d
E2  E
Рассмотрим граничные
условия:
E1  E2
и E  E  E , т.е.
r
d

 
 
A exp  it  knr   R exp  i r t  k r nr r   D exp  i d t  k d nd r 
(2)
Граничные условия должны
удовлетворять всем значениям
времени t и координат х и у на
поверхности раздела z=0.
Условие (2) имеет вид:
a  exp  it   b  exp  i r t   c  exp  i d t 
(3)
где а, b и с от времени на
зависят.
a  exp  it   b  exp  i r t   c  exp  i d t 
(3)
a  exp  it   b  exp  ir t   c  exp  id t 
(3)
Для того чтобы (3) не зависело
от времени, необходимо
  r  d
Аналогично для координат:


 
A exp iknr   B exp ik r nr r   C exp ik d nd r 
(4)
А, В и С от координат не
зависят.


 
A exp iknr   B exp ik r nr r   C exp ik d nd r 
(4)
На поверхности раздела z=0,


 
knr  k r nr r  k d nd r
(5)
или
k x cos  y cos   z cos    k r x cos r  y cos  r  z cos  r  
 k d x cos d  y cos  d  z cos  d 
где , ,  - направляющие
углы


векторов n , n , n
r
d
Выберем оси координат так,
чтобы координатная плоскость
z=0 совпадала с плоскостью
раздела сред 1 и 2, и чтобы
направление распространения

падающей волны n лежало в
плоскости xz.
Тогда cos=0. При z=0 получим:
kx cos   kr  x cos  r  y cos r   kd  x cos  d  y cos  d 
Т.к. это условие должно
удовлетворяться во всех точках
плоскости z=0, т.е. при любых
значениях х и у, то из него следует
cos  r  cos  d  0

 r  d 
2
k cos   k r cos  r  k d cos  d
(*)
(**)
(*) означает, что направления
и преломленной волн

 отраженной
nr и nd лежат в одной плоскости xz, т.е. в
плоскости
падения
волны
 

( n , n и n d компланарны).
r
cos  r  cos  d  0

 r  d 
2
(*)
Учитывая, что

k
v1

kr 
v1

kd 
v2
Условие (**)
k cos   k r cos  r  k d cos  d
запишем в следующем виде
1
1
1
cos   cos  r  cos  d
v1
v1
v2
(**)
Отсюда следует, что
r  
Вводя, как обычно, углы
падения и отражения  и ,
можем сказать, что угол
отражения  равен углу
падения  .
Далее, вводя угол преломления
  90   d
0
и учитывая, что
cos   sin  cos  d  sin 
получим:
1
1
sin   sin 
v1
v2
или
sin  v1

sin  v2
Т.о. отношение синусов углов
падения и преломления есть
величина постоянная,
зависящая лишь от свойств
граничащих сред 1 и 2.
На основании соотношения
c
v

можем написать:
 2 n2
sin  v1



n
sin  v2
1 n1

 2  n2 ,
1  n1

• 1) Итак, геометрические законы
отражения и преломления
непосредственно вытекают из
электромагнитной теории света (из
граничных условий).
• 2) Т.к. не делали никаких ограничивающих
предположений относительно амплитуд и
фаз, то можно утверждать, что эти
законы справедливы для любых состояний
поляризации падающей волны.