1. Плоскость Основные уравнения плоскости

1. Плоскость
Основные уравнения плоскости
1. Уравнение плоскости, проходящей через заданную
точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) перпендикулярно
заданному вектору N  A; B; C
N  A; B; C
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
2. Общее уравнение плоскости
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
Ax  By  Cz  D  0
N  A; B; C
Z
- вектор нормали
c
3. Уравнение плоскости « в отрезках»
x y z
  1
a b c
Y
a
X
b
Уравнения плоскости
4. Уравнение плоскости, проходящей через три
заданные точки M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) , M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) и M 3 ( x3 ; y3 ; z3 )
N  A; B; C
M ( x; y; z )
M 2 ( x2 ; y 2 ; z 2 )
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
M 3 ( x3 ; y3 ; z3 )
Условие компланарности векторов
x  x1
x2  x1
x3  x1
y  y1
y2  y1
y3  y1
z  z1
z 2  z1  0
z3  z1
M 1M  x  x1 ; y  y1 ; z  z1
M 1M 2  x2  x1 ; y2  y1 ; z 2  z1
M1M 3  x3  x1; y3  y1 ; z3  z1
( M 1M  M 1M 2  M 1M 3 )  0
Построение плоскостей
1. Построить плоскость
3x  4 y  6 z  12  0
Находим координаты точек пересечения плоскости с осями координат.
Z
x
0
0
4
y
0
3
0
z
2
0
0
2
3 Y
4
X
Можно привести уравнение плоскости к уравнению «в отрезках»
1) Переносим вправо свободный член уравнения
3x  4 y  6 z  12
2) Делим на 12, чтобы получить единицу в правой части
3) Убираем коэффициенты из числителей
x y z
  1
4 3 2
3x 4 y 6 z


1
12 12 12
Числа, стоящие в знаменателях, являются длинами отрезков, которые
плоскость отсекает на осях координат
Построение плоскостей
2. Построить плоскость
3x  5 y  10  0
В уравнении отсутствует переменная z.
Находим точки пересечения плоскости с осями OX и OY.
X
0
10/3
y
-2
0
Соединяем точки прямой линией и получаем
след плоскости на плоскости XOY.
Теперь из точек пересечения проводим
прямые, параллельные оси OZ.
Аналогично строятся все плоскости,
в уравнении которых отсутствует одна
переменная
Z
Z
3
2
Z
Y
-2
10/3
X
X
2
Y
7
2 x  7 z  14  0
X
3 y  2z  6
Y
Построение плоскостей
3z  8  0
3. Построить плоскость
В уравнении отсутствуют две переменные x и y. Такая плоскость
проходит параллельно и оси OX , и оси OY, т.е. она проходит
параллельно координатной плоскости XOY через точку z=8/3 на оси OZ.
Z
8/3
Y
Аналогично строятся плоскости,
в уравнениях которых отсутствуют
две переменные
0
X
Z
4x  9  0
5y  3  0
Z
Y
X
9/4
0
X
0
3/5
Y
Таким образом, если в уравнении плоскости
отсутствует одна переменная, то плоскость проходит
параллельно той оси координат, переменной которой
нет в уравнении.
Если в уравнении плоскости отсутствует свободный
член, то плоскость проходит через начало координат.
Если в уравнении плоскости отсутствуют две
переменные, то плоскость проходит параллельно
координатной плоскости, переменных которой нет в
уравнении.
Уравнения координатных плоскостей
- уравнение плоскости YOZ
x0
- уравнение плоскости XOZ
y0
- уравнение плоскости XOY
z0
Взаимное расположение плоскостей
1. Условие параллельности плоскостей
N 1 || N 2
A1 B1 C1


A2 B2 C2
N1  A1 ; B1 ; C1 
N 2  A2 ; B2 ; C2 
2. Условие перпендикулярности плоскостей
N1
N2
( N1  N 2 )  0
A1  A2  B1  B2  C1  C 2  0
N1
N2
3. Косинус угла между плоскостями
Угол между плоскостями – это угол между векторами
нормалей этих плоскостей
cos  cos( N1 , N 2 ) 
A1  A2  B1  B2  C1  C2
A12  B12  C12  A22  B22  C22
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) до плоскости
Ax  By  Cz  D  0 находится по формуле
d
| Ax1  By1  Cz1  D |
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
d
A2  B 2  C 2
Расстояние – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость
Правило: для нахождения расстояния от точки до плоскости нужно
координаты точки подставить в левую часть уравнения плоскости,
разделить на длину вектора нормали плоскости и полученное значение
взять по абсолютной величине.
!
Расстояние – величина всегда положительная
2. Прямая в пространстве. Основные уравнения
1. Уравнение прямой, проходящей через заданную
точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) параллельно заданному вектору
s  m; n; p
x  x0 y  y0 z  z0


m
n
p
- канонические уравнения
s  m; n; p - направляющий вектор
2. Параметрические уравнения
x  x0 y  y0 z  z0


 t,
m
n
p
s  m; n; p
 x  mt  x0
 y  nt  y
0

 z  pt  z0
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ; z2 )
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y2  y1 z2  z1
s  M 1M 2
M 2 ( x2 ; y 2 ; z 2 )
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
Прямая в пространстве. Основные уравнения
4. Общее уравнение прямой в пространстве
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
а) Направляющий вектор



i
j
k
s  N1  N 2   A1 B1 C1
A2 B2 C 2
s  m; n; p
N1  A1 ; B1 ; C1 
N 2  A2 ; B2 ; C2 
 A1 x  B1 y  C1 z0  D1
б) Нахождение точки M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) на прямой 
 A2 x  B2 y  C2 z0  D2
x  x0 y  y0 z  z0


m
n
p
- канонические уравнения прямой
Взаимное расположение прямых в пространстве
1. Нахождение угла между прямыми.
Прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями, поэтому
угол между прямыми – это угол между направляющими векторами
( s1  s2 )
m1m2  n1n2  p1 p2
cos 

2
2
s1  s2
m1  n12  p12  m2  n22  p22
s2 

s1
2. Проверка условий параллельности и
перпендикулярности прямых
Условие параллельности прямых
s1 || s2
m1 n1 p1
 
m2 n2 p2
s2
s1
Условие перпендикулярности прямых
s1
s2
( s1  s2 )  0
m1m2  n1n2  p1 p2  0
s2
s1
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Задача о нахождении расстояния от точки
до прямой
x  x0 y  y0 z  z0
m

n

M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
p
решается так же, как в векторной алгебре находилась высота
параллелограмма, построенного на двух известных векторах.
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
На векторах
d
M 0 M1  x1  x0 ; y1  y0 ; z1  z0 
и s  m; n; p строим
параллелограмм.
s
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
Высота этого параллелограмма и есть искомое расстояние.
Высоту находим как отношение площади параллелограмма
к длине основания. Площадь параллелограмма – это модуль векторного
произведения векторов, а длина основания – это длина вектора s
d 
M
0
M1  s
s

Взаимное расположение прямой и плоскости в
пространстве
1. Условие параллельности прямой и плоскости
N  A; B; C
s  m; n; p
s
( N  s)  0
N
Am  Bn  Cp  0
2. Условие перпендикулярности прямой и плоскости
s  m; n; p
N  A; B; C
N || s
A B C
 
m n p
Взаимное расположение прямой и плоскости в
пространстве
3. Нахождение угла между прямой и плоскостью
s  m; n; p
N  A; B; C 


Углом между прямой и плоскостью
считается угол между этой прямой
и ее ортогональной проекцией на
эту плоскость. На рисунке это угол

Из уравнений прямой и плоскости
известны направляющий вектор
прямой и вектор нормали плоскости.
Косинус угла  между этими векторами легко можно найти.
Легко заметить, что углы  и  в сумме дают 90 градусов, а значит
cos  sin 
Поэтому при нахождении угла между прямой и плоскостью находят
не косинус, а синус угла. Кроме того, в формуле стоит модуль, так как
синус угла в данной ситуации может быть только положительным
sin  
| ( N  s) |

Ns
| Am  Bn  Cp |
A2  B 2  C 2  m 2  n 2  p 2
.
Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно
составить систему из уравнений прямой и плоскости
x  x0 y  y0 z  z0


t
m
n
p
Ax  By  Cz  D  0
Для того, чтобы решить систему, переводим уравнение прямой в
параметрический вид
 x  mt  x0
 y  nt  y
0

 z  pt  z0
Подставляем эти уравнения в уравнение плоскости
A(mt  x0 )  B(nt  y0 )  C ( pt  z0 )  D  0
Из этого уравнения находим параметр t и подставляем его значение
в параметрические уравнения , получим координаты точки пересечения
Составление уравнений плоскости

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M 0 (1;3;5) перпендикулярно вектору a  3;2;4
Исходное уравнение:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
Подставляем координаты точки и вектора
3( x  1)  2( y  3)  4( z  5)  0
Раскрываем скобки
3x  3  2 y  6  4 z  20  0
Приводим подобные
3x  2 y  4 z  29  0
Получили общее уравнение плоскости.
Решение типовых задач контрольной работы № 4
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку


двум векторам a  2;7;5 и b   3;0;4
M 0 (1;3;5) параллельно

b

Используем уравнение
N
a
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
Координаты точки нам известны. Необходимо найти координаты вектора
нормали. Из рисунка видно, что в качестве вектора нормали можно взять
вектор, являющийся векторным произведением данных в условии задачи
векторов, так как такой вектор перпендикулярен каждому из данных
векторов, а значит перпендикулярен и плоскости.



i
N  ab  2
3

j
7
0

k



5  28i  7 j  21k
Итак,
N  28;7;21
4
Подставляем все данные в уравнение плоскости
28( x  1)  7( y  3)  21( z  5)  0
4( x  1)  ( y  3)  3( z  5)  0
4 x  y  3z  8  0
Аналогично решаются задачи с такими условиями:
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P(2;3;1)
и прямую x  5  y  1  z  6
0
4
3
Из уравнения прямой можно определить
координаты направляющего вектора и точки
N
M
s  0;4;3
P
s
Итак, вектор нормали



i
j
k


N  s  MP  0
4
3 4
M (5;1;6)
Чтобы найти вектор нормали плоскости,
нужно знать два вектора, параллельных
этой плоскости. Один из этих векторов –
направляющий вектор прямой, а другой
вектор можно получить, соединив две
известные точки
MP   3;4;7



 3  16i  9 j  12k
7
16( x  2)  9( y  3)  12( z  1)  0
Раскрываем скобки и упрощаем
16x  9 y  12z  17  0
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через две
параллельные прямые
x 3 y  2 z


5
2 1
и
 x  5t  1
 y  2t  3

 z  t  6
Из уравнения каждой прямой можно определить координаты
направляющего вектора и точки
s1  {5;2;1}
M 1 (3;2;0)
s2  {5;2;1}
M 2 (1;3;6)
N
s1
M1
M2
Задача сводится к предыдущей, если образовать вектор, соединяющий
две известные точки на прямых. Тогда для нахождения вектора нормали
будут известны координаты двух векторов в этой плоскости. Точку для
составления уравнения плоскости можно взять любую.
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2;1;5)
перпендикулярно двум плоскостям 4 x  y  3z  2  0 и x  2 y  5z  3  0
N
N1  4;1;3
N 2  1;2;5
Основное уравнение:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
M
Для составления уравнения плоскости есть точка M (2;1;5) .
Вектором нормали может являться вектор, равный векторному
произведению векторов нормалей данных плоскостей.



i

j
N  N1  N 2  4  1
1
2

k



3  i  23 j  9k
5
Остается только подставить
все данные в уравнение.
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три
заданные точки
M 1 (1;3;5), M 2 (2;1;0), M 3 (0;4;7)
В данном случае можно воспользоваться готовой формулой уравнения
плоскости, проходящей через три точки
x  x1
x2  x1
x3  x1
y  y1
y2  y1
y3  y1
z  z1
z 2  z1  0
z3  z1
Подставляем в это уравнение координаты точек и раскладываем
определитель по элементам первой строки
x 1 y  3 z  5
2 1 1 3 0  5  0
0 1  4  3 7  5
x 1 y  3 z  5
3
4
5 0
1
7
12
 13( x  1)  31( y  3)  17( z  5)  0
13x  31y  17z  5  0
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2;1;3)
перпендикулярно прямой
x 1 y  2
z
5

3

4
Основное уравнение плоскости
s
N
M
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
Из рисунка видно, что в качестве
вектора нормали плоскости можно
взять направляющий вектор прямой
N  s  {5;3;4}
Таким образом, для составления уравнения плоскости есть все данные:
координаты точки и вектора нормали
5( x  2)  3( y  1)  4( z  3)  0
5x  3 y  4 z  5  0
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (4;2;1)
и отсекающую на осях координат одинаковые отрезки
Для решение задачи используем уравнение плоскости «в отрезках»
x y z
  1
a b c
Отрезки на осях одинаковые, поэтому
x y z
  1
a a a
Для нахождения
a
или
x yz a
подставляем в это уравнение координаты точки
4  2 1  a
Итак, уравнение плоскости
a 1
x  y  z 1
M
8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (4;6;2)
параллельно вектору s   2;5;7
Требуется составить канонические уравнения прямой
x  x0 y  y0 z  z0


m
n
p
Подставляем исходные данные
x4 y6 z2


2
5
7
9. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку
M (4;6;2) параллельно прямой  x  7t  2
 y  13t  3

 z  9t
Для все параллельных прямых можно использовать один направляющий
вектор. Поэтому для искомой прямой имеем точку и направляющий вектор
s   7;13;9
Уравнения прямой
x4 y6 z2


7
13
9
10. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (3;1;5)
параллельно оси OY.
В качестве направляющего вектора можно использовать любой вектор,
параллельный оси OY. Самый простой вектор – это орт оси OY
s  j  0;1;0
Канонические уравнения прямой
x  3 y 1 z  5


0
1
0
11. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две
точки M (3;2;0) и M (0;6;4)
1
2
В качестве направляющего вектора можно использовать вектор,
соединяющий эти точки.
s  M 1M 2   3;8;4
Уравнения прямой
x 3 y  2
z


3
8
4
Точку можно подставить любую.
12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (3;5;2)
перпендикулярно плоскости 4 x  y  3z  1  0
Канонические уравнения прямой
s
M
x  x0 y  y0 z  z0


m
n
p
N
Из рисунка видно, что в качестве
направляющего вектора прямой можно
взять вектор нормали плоскости
s  N  {4;1;3}
Таким образом, для составления уравнения прямой есть все данные:
координаты точки и направляющего вектора
x 3 y 5 z  2


4
1
3
13. Перейти от общего уравнения прямой к каноническому виду
 2 x  y  3z  7  0
N1  2;1;3

N 2  1;4;5
 x  4 y  5 z  10  0
Как уже отмечалось, для перехода к каноническому виду
x  x0 y  y0 z  z0


m
n
p
нужно знать точку на прямой и направляющий вектор
а) Находим направляющий вектор



i

j

k



3  7i  13 j  9k
s  N1  N 2  2  1
1
4
Итак, направляющий вектор
s   7;13;9
5
б) Находим точку на прямой. Для этого можно положить в системе
уравнений одну из координат равной нулю. Итак, z  0
Тогда система примет вид
Точка
M (2;3;0)
и канонические уравнения
x2 y3 z


7
13
9
 2x  y  7

 x  4 y  10
Решая ее, найдем
x2
y  3
Получим параметрические уравнения
x2 y3 z

 t
7
13
9
 x  7t  2
 y  13t  3

 z  9t
14. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (2;4;1)
0
и составляющую с осями координат углы   450
и   120
Направляющим вектором в данном случае может являться единичный
вектор – орт, координатами которого являются направляющие косинусы
Нам известны углы, которые вектор образует с осями OX и OY соответственно.
Для нахождения косинуса угла с осью OZ используем основное свойство
направляющих косинусов вектора



cos2   cos2   cos2   1
2
1
cos  cos 450 
,
cos   cos1200  
2
2
2
2
2  1
2 1
1
1
      cos2   1,
  cos2   1, cos2   ,
cos   
2   2
4 4
4
2
2 1 1
Направляющий вектор s  
или s   2;1;1
 ; ; 
2 2
 2
Канонические уравнения прямых
(получили уравнения двух прямых)
x  2 y  4 z 1


2
1
1
15. Найти точку пересечения и угол между прямой
x 3 y 5 z  2


4
1
3
и плоскостью 5x  3 y  4 z  2  0
Для нахождения точки пересечения преобразуем канонические уравнения
прямой к параметрическому виду
x 3 y 5 z  2


 t,
4
1
3
 x  4t  3
 y  t  5

 z  3t  2
Подставляем в уравнение плоскости и находим параметр t
5(4t  3)  3(t  5)  4(3t  2)  2  0
20t  3t  12t  15  15  8  2  0
5t  10  0,
t  2
Подставляем t
в параметрические уравнения
 x  8  3  11
 y  25 7

 z  6  2  8
Итак, координаты точки пересечения
M (11;7;8)
Угол между прямой и плоскостью находим по формуле
| ( N  s) |
sin  

Ns
N  5;3;4
s  4;1;3
| Am  Bn  Cp |
A2  B 2  C 2  m 2  n 2  p 2
- вектор нормали плоскости
- направляющий вектор прямой
Подставляем в формулу
sin  
| ( N  s) |

N s
| Am  Bn  Cp |

2
2
2
2
2
2
A  B C  m n  p
| 20  3  12 |
 2 2

2
2
2
2
5  3  (4)  4  (1)  3
5
5
1
1




50  26 5 2  26
52 2 13
16. Найти расстояние от точки
M (5;3;2)
до плоскости
3x  4 y  z  9  0
Используем формулу расстояния от точки до плоскости
d
d
| Ax1  By1  Cz1  D |
A2  B 2  C 2
3  5  4  3  1  (2)  9
32  (4) 2  (1) 2
| 4 |
4


26
26
17. Найти расстояние от точки M (1;4;2) до прямой в
x2 y4 z
пространстве


3
5 1
M (1;4;2)
d
s  3;5;1
Искомое расстояние – это высота
параллелограмма, построенного на
векторах
s  3;5;1
и
M 0 M   3;8;2
M 0 (2;4;0)
Площадь параллелограмма находим, используя векторное произведение
i
j
k
S  s  M 0 M  3  5 1  2i  3 j  9k  2 2  32  9 2  94
3 8 2


s  3;5;1
s  32  (5) 2  12  35
S
94
d


Расстояние от точки до прямой
35
s
Длина основания – это длина вектора