Пример6

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (2;1;1) и отсекающей на
осях Ох и Oy отрезки, соответственно равные 4 и –6.
Будем искать уравнение плоскости, как уравнение плоскости в отрезках:
x y z
  1
a b c
где a, b и с – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях. По условию задачи,
a=4, b=-6 , следовательно искомая плоскость будет иметь вид:
x
y
z

 1
4 6 c
Т.к. плоскость, проходит через точку (2;1;1), то координаты точки должны удовлетворять
уравнению плоскости. Подставляя координаты точки, находим с:
2
1 1
1
1 1
1 4 2
3

  1;
 1  ;
  ; c
4 6 c
c
2 6
c 6 3
2
Окончательно получаем:
x
y
z

  1;
* 12
4 6 3
2
3 x  2y  8z  12  0
2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (-1;4;0), пересекающей ось Oz и
x  2 y 1 z  3


перпендикулярной прямой
.
1
1
2
Наша прямая проходит через точку А(-1;4;0) и песекает ось Oz, т.е. проходит через точку
В(0;0;Z). Найдем вектор AB ={xВ-xА;yВ-yА}={0-(-1);0-4;Z-0}={1;-4;Z}. Наша прямая
x  2 y 1 z  3


перпендикулярна прямой
, следовательно, вектор AB
1
1
2
перпендикулярен направляющему вектору Q ={1;-1;2} этой прямой. Значит скалярное
произведение этих векторов равно нулю:
AB * Q =0
1*1-4*(-1)+Z*2=0
Z=-5/2
Получаем координаты точки В(0;0;-5/2). Строим уравнения прямой по двум точкам А и В:
x  xA
y  yA
z  zA


x B  x A y B  y A zB  z A
x 1 y  4
z


5
0 1 0  4

2
x 1 y  4
z


2
8
5
x  t  1
x 1 y 1 z  2 


3. Проверить, лежат ли в одной плоскости прямые:
; y  2t  2 .
2
3
1
z  1

Если прямые лежат в одной плоскости, то они либо параллельны, либо пересекаются.
Направляющие вектора прямых равны соответственно:
Q1 ={2;3;1}, Q 2 ={1;2;0}. Координаты векторов не пропорциональны, значит вектора не
коллинеарны и прямые не параллельны. Проверим не пересекаются ли данные прямые,
т.е. имеют ли они общую точку. Решим совместно уравнения:
x  t  1
 y  2t  2

x

t

1

z  1
 y  2t  2


x 1 y 1

z  1

3

 2
x

1
y

1
z

2

y 1 z  2


 2
 3  1
3
1


Подставляя значения x,y,z из первого, второго и третьего уравнения в четвертое и пятое,
получаем:
x  t  1
 y  2t  2

z  1
 t  1  1 2t  2  1  t  2 2t  1

 2 
 2  3
3t  6  4t  2 t  8
x

1
y

1

3






3
 2t  1  3
t  2
 2
 2t  2  1  1  2
 2t  1  1


y

1
z

2

3
1

 3
 3  1


Получили два несовместных уравнения, следовательно система решений не имеет и
прямые не пересекаются. Данные прямые не лежат в одной плоскости.