Торгашова Ольга Юрьевна, НОЦ

Саратовский государственный университет
НОЦ-006
Торгашова Ольга Юрьевна
СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ
ИДЕНТИФИКАЦИЯ
ДИНАМИКИ СТЕНКИ СОСУДА
1
2
МОДЕЛИ ДИНАМИКИ СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ
1. Модель кардиоваскулярной системы в виде связанных осцилляторов
[A. Stefanovska, 2007]
l
l
x1  x1q1  y11   2 x2  3 x3   4 x4  5 x5  6  P ( z , t )dz  7   ( z , t )dz,
0
0
y1  y1q1  x11   2 y2  3 y3   4 y4  5 y5 ,
l
l
x2  x2 q2  y22   4 x4   5 x5   6  P ( z , t )dz   7   ( z , t )dz,
0
(1)
0
y 2  y2 q2  x22   4 y4   5 y5 ,
x3  x3q3  y33   2 x2   4 x4   5 x5   6 P ( z , t ),
y3  y3q3  x33   2 y2   4 y4   5 y5 .
Здесь x – кровоток, создаваемый i-м осциллятором, y – скорость потока как
результат действия i-го осциллятора. i = 1 для сердца (1  21,1 Гц), i = 2
для респираторной активности (2  20,2 Гц), i = 3 для миогенной
активности (3  20,1 Гц), j, k, l – оцениваемые параметры, (z, t) –
поток в каждой точке кровеносной системы, P(z, t) – давление,
генерируемое легкими.
3
 ( z , t )
P( z , t )
 1
  2 x5 ,  i  0, i  1, 2,
t
z
P( z , t )
 ( z , t )
  1
  2 x3  3 x4 , i  0, i  1, 2,
t
z
 (0, t )  x1 (t ),  (l , t )  0, P(0, t )  x2 (t ), P(l , t )  0,
(2)
где i, i – параметры управления.
2. Модель электрической активности сердца в виде связанных
осцилляторов [D. di Bernardo et al, 1998]
 x1  1 С1 x2 ,
 x  1 L x  g ( x )  R ( x  x )  A cos(2ft ),
 2
1 1
2
2
4

(3)
x

1
С
x
,

3
2
4

 x4  1 L2 x3  f ( x4 )  R ( x2  x4 ),
где x2 описывает электрический импульс (биопотенциал), порождаемый
синусно-предсердным узлом, x4 – биопотенциал, порождаемый предсердножелудочковым узлом, C1, C2, L1, L2, R – параметры системы, g(x2), f(x4) –
полиномиальные функции; A, f – параметры внешнего возмущения.
4
ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТРУКТУРЫ МОДЕЛИ
x, усл. ед.
Модельное уравнение динамики
стенки сосуда:
(4)
x  F ( x) x  ax  0,
где x – линейное перемещение стенки
сосуда, a  02, 0 – собственная
частота соответствующей линейной
t, c
задачи, F(x) – некоторая нелинейная Рис. 1. Экспериментально полученный
функция.
сигнал артериальной пульсовой волны
Вид нелинейной функции:
(5)
F  x   1 x 2  r02   2 x 2  02 r02 .




Решение уравнения (4) с учетом (5) при 1  0, 2  0:
x(t )  2r0 cos0t  0 , 0  const.
Решение уравнения (4) с учетом (5) при 1  0, 2  0:
0
x(t )  2r0
cos0t   0 ,  0  const.
30
(6)
(7)
5
Решение уравнения (4) с учетом (5) при 1  0, 2  0:
1   2 02
cos0t   0 ,  0  const.
2
1  3 20
x(t )  2r0
(8)
Модельное уравнение динамики стенки сосуда с учетом кровотока:




x  1 x 2  r02 x   2 x 2  02 r02 x  ax  b cos ωt , ω  2ω0 . (9)
Решение модельного уравнения (9):
2
x(t )  2r0

b
302
1   2 02 1  b  1  12 202
 
cos0t   0  
2
2
2
2
1  3 20
 3r00  1  3 20
cos 20t.
(10)
6
АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Форма Коши системы (9):
x  y,

y  1 x
2
 r02
x   2 x
2
  02 r02
x  ax  b cos ωt, ω  2ω0 .
(11)
Периодическое решение системы (11):
 x (t )  A cos0t   0   B cos 20t ,
 y (t )  d x (t ) dt   A0 sin 0t   0   2 B0 sin 20t ,
(12)
2
где A  2r0
1   2 02 1  b  1  12 202
b
 
, B 2.
2
2
2
2
1  3 20
30
 3r00  1  3 20
Матрица Якоби системы (11):
0
1


J  x, y   
2
2 2
2
2 .
 a  21 xy 1r0   20 r0  1 x  3 2 y 
(13)
7
Характеристические показатели  корни уравнения
det   E2   0, где Eu – единичная матрица размеров uu.
Матрица  определяется выражением
1
   J  x (t ), y (t ) dt 
0
(14)
1
0

   a     r 2  1 A2  1 B 2     2   r 2  3 A2  6 B 2  .
 2 0 0

1
0

2
2
2




Характеристические показатели:
2
(15)
f 1 ,  2 , 0 , r0 , a 
 f 1 ,  2 , 0 , r0 , a  
 1, 2  
 
  4.
2a
2a


1
1 
3



где f 1 ,  2 , 0 , r0 , a   1   r02  A2  B 2    202   r02  A2  6 B 2  .
2
2 
2



Условие устойчивости периодического решения (12):
1   2 02
b2
f 1 ,  2 , 0 , r0 , a 
или

. (17)
 0 (16)
4 2
2
180 r0 1  12 20
2a
8
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ
Параметрическая идентификация модели (11).
0  0  5,89 [рад], a  02, b  0,63 [усл.ед./с2].
(18)
Рассмотрим модель
xS  f ( xS , t )  G( xS , t )w(t ), h(t )  z ( xS , t )   (t ), xS (t0 )  x0 ,
(19)
где xS  colon{x, y, 1, 2, r0}  colon{x1 , x2 , x3 , x4 , x5} – обобщенный
вектор состояния, включающий в себя внутренние состояния системы (11),
а также параметры, подлежащие идентификации, w(t) – вектор
возмущений, (t) – вектор помех измерения,
x2


 ( x 2  x 2 ) x x  ( x 2   2 x 2 ) x x  ax  b cos 2 t 
1
5 2 3
2
0 5 2 3
1
0 

f ( xS , t )  
0
,


0




0
z ( xS , t )  E2 023 xS , G( xS , t )  colon{023 , E3}.
здесь и далее 0uv обозначена нулевая матрица размеров uv.
(20)
(21)
9
Стабилизирующий функционал:
1T
(22)
( xˆ )   ( xˆ  x )T Rx1 ( xˆ  x )dt,
2 t0
5
где xˆ  R – оценка вектора xS, x  R 5 – вектор эталонной модели,
Rx1  Rx1 (t )  R 55 – диагональная матрица масштабирования.
Сглаживающий функционал:
1
1T T
T 1
I  [( xˆ  x ) R0 ( xˆ  x )]   w (t ) Rw1w(t )dt 
2
2 t0
1T
  [h(t )  z ( xS , t )]T R1[h(t )  z ( xS , t )]dt   ( xˆ ),
2 t0
(23)
где R01  Rx1 (t0 )  R55 , Rw1  Rw1 (t )  R55– весовые матрицы,
характеризующие точность определения начального состояния системы и
интенсивность возмущающих воздействий соответственно;  – параметр
регуляризации.
10
Уравнения регулярного оценивания:


xˆ  f ( xˆ , t )  P(t ) z T ( xˆ , t ) xˆ (t )  R1[h(t )  z ( xˆ , t )]  Rx1 ( xˆ  x ) ;
P (t )  f ( xˆ , t ) xˆ  P(t )  P(t )  f T ( xˆ , t ) xˆ  G ( xˆ , t ) RwG T ( xˆ , t ) 



(24)
 P(t )  xˆ z T ( xˆ, t ) xˆ (t )  R1[h(t )  z ( xˆ , t )]  Rx1 P(t ).
Значения весовых матриц и параметра регуляризации, при которых в
ходе моделирования были получены удовлетворительные результаты:
Rw  diag{0,15; 104 ; 103 ; 1; 1},
R1  50  diag{102 ; 101},
(25)
Rx1  diag{102 ; 103 ; 1; 10; 10},
  10.
Значения параметров, полученные в ходе интегрирования уравнений
регулярного оценивания (время интегрирования 30 с):
1  0,5 [1/(усл.ед.2∙с)], 2  0,001 [с/усл.ед.2], r0  33,239 [усл.ед.]. (26)
РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ
Интегрирование уравнения (9) с параметрами (18), (26) проводилось в
системе Matlab. Результаты представлены на рис. 2.
x, усл. ед.
t, c
Рис. 2. Графики экспериментально полученного сигнала (серая
сплошная линия), сигнала эталонной модели (пунктирная линия)
и оценки (черная сплошная линия)
11