РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИНТЕРНЕТ-ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ 2007/2008 УЧ. ГОД. 10 КЛАСС 1. РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЕ. x 1 x 1 x 5 0. x 1 0, x 5 0 x 5 0, x 5. x5 ОТВЕТ: 5. 2. АБСЦИССА ВЕРШИНЫ ПАРАБОЛЫ y x 4ax 5a РАВНА 4 . НАЙДИТЕ ОРДИНАТУ ВЕРШИНЫ. РЕШЕНИЕ. ВЫДЕЛИМ В ЗАДАНИИ ФУНКЦИИ ПОЛНЫЙ КВАДРАТ: 2 y x 2a 4a 2 5a . 2 ТОГДА КООРДИНАТЫ ВЕРШИНЫ ПАРАБОЛЫ ОПРЕДЕЛИМ ИЗ СООТНОШЕНИЙ x0 2a, 4 2a, a 2, 2 2 y0 4a 5a y0 6. y0 4a 5a ОТВЕТ: -6. 3. ЧИСЛО x УВЕЛИЧИЛИ НА 44%. НА СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ УВЕЛИЧИЛОСЬ x ? 3 РЕШЕНИЕ. УВЕЛИЧЕННОЕ ЧИСЛО СОСТАВИТ 1,44x , ТОГДА ИЗ ПРОПОРЦИИ ЧИСЛО x 3 100% 1,44 x 3 ОПРЕДЕЛИМ y% y 1,2 x 100 3 120% , А, ЗНАЧИТ, x 3 РАЗНОСТЬ БУДЕТ РАВНА 20%. ОТВЕТ: 20%. 4. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА a , ПРИ КОТОРЫХ СУММА КВАДРАТОВ 2 КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ x ax 2 0 РАВНА 13. РЕШЕНИЕ. ПО ТЕОРЕМЕ ВИЕТА КОРНИ УРАВНЕНИЯ x1 И x2 УДОВЛЕТВОРЯЮТ x1 x2 a, СИСТЕМЕ . ВОЗВЕДЕМ ПЕРВОЕ УРАВНЕНИЕ В КВАДРАТ И x x 2 1 2 ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ВТОРЫМ УРАВНЕНИЕМ, ТОГДА ПОЛУЧИМ: x12 2 x1x2 x22 a 2 x12 x22 a 2 4 a 2 4 13 a 3. ОТВЕТ: a 3. 5. ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ a ЧИСЛА 3a a , 9 a , 3a 9 2 ЯВЛЯЮТСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ? РЕШЕНИЕ. ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ СВОЙСТВОМ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ И НАЙДЕМ: a 1, 9 3a a 3a 9 a 3a a 1 9 a 1 0 a 1 3a 9 0 2 2 a 2. ОТВЕТ:-1;2. 1 1 6. НАЙДИТЕ f 5 , ЕСЛИ f 3x 9 x 2 9 x 2 . 3x 1 РЕШЕНИЕ. ПО УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ 3x 5 , ТОГДА, ВОЗВЕДЯ ЭТО 3x 1 1 2 СООТНОШЕНИЕ В КВАДРАТ, НАЙДЕМ: 2 9 x 25 9 x 2 27. 2 2 9x 9x ОТВЕТ: 27. 7. НАЙДИТЕ cos 2 2 , ЕСЛИ sin 2 2 3,5 cos 1,5 . РЕШЕНИЕ. ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ СООТНОШЕНИЯМИ cos 2cos 2 2 1, sin 2 1 cos 2 2 2 1 cos 2 7cos 2 2 2 . ТОГДА ПОЛУЧИМ: 3,5 1,5 8cos 2 2 3 cos 2 3 . 2 8 3 ОТВЕТ: . 8 8. ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА a ИЗ ОТРЕЗКОВ С ДЛИНАМИ a 1, a 3, 5 МОЖНО СОСТАВИТЬ ТРЕУГОЛЬНИК? 2 РЕШЕНИЕ. ЗАМЕТИМ, ЧТО ДЛИНЫ СТОРОН ТРЕУГОЛЬНИКА ПОЛОЖИТЕЛЬНЫ, a 3 0, ТОГДА a a 3. ТАК КАК СУММА ДЛИН ДВУХ СТОРОН 5 0 2 ТРЕУГОЛЬНИКА БОЛЬШЕ ДЛИНЫ ТРЕТЬЕЙ СТОРОНЫ, ТО СОСТАВИМ СИСТЕМУ НЕРАВЕНСТВ 1 a 3 0,5a 5, a 14, 1 0,5a 5 a 3, a 18, 14 a 18. a 3 0,5a 5 1 2 a 3 ОТВЕТ: 14;18 . 9. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ 2 x 3 , ЕСЛИ x 4 6 x3 13x 2 12 x 15 0. 4 РЕШЕНИЕ. ПЕРЕГРУППИРУЕМ В УРАВНЕНИИ СЛАГАЕМЫЕ И ПОЛУЧИМ: 2 x4 6x3 9x2 4x2 12x 154 0 x2 3x 4 x2 3x 154 0. РЕШИВ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ, НАЙДЕМ, ЧТО x x 2 3 x 2,5, 2 x 3 3. 2 x 3 3 x 3 x 1,5 1,2 2 ОТВЕТ: 3 . xy 3 x3 y 1080 10.РЕШИТЕ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ . x y 4 xy 12 x 0, x 0, РЕШЕНИЕ. ОДЗ СИСТЕМЫ: xy 0 ИЛИ . ПЕРЕПИШЕМ y 0 y 0 СИСТЕМУ В ВИДЕ y xy x xy 1080, . ЕСЛИ x y 4 xy 12 x 0, , ТО y0 y x xy 1080, . ИЗ ПЕРВОГО УРАВНЕНИЯ СЛЕДУЕТ, ЧТО y x 0 , А ИЗ y x 12 4 xy ВТОРОГО, ЧТО y x 0 . ЗНАЧИТ, РЕШЕНИЙ В СИСТЕМЕ НЕТ. x y xy 1080, x y a, . О БОЗНАЧИМ , ТОГДА xy b , b 0 x y 12 4 xy xy 225, a 12 4b, x y 72, a 72 x 3, 2 4 b 12 b 1080 0 . b 15 x 0, y 75 b0 y 0 ОТВЕТ: 3; 75. 11.ЕСЛИ ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО РАЗДЕЛИТЬ НА СУММУ ЕГО ЦИФР, ТО В ЧАСТНОМ ПОЛУЧИТСЯ 3, А В ОСТАТКЕ 7. ЕСЛИ ИЗ СУММЫ КВАДРАТОВ ЦИФР ЭТОГО ЧИСЛА ВЫЧЕСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЕГО ЦИФР, ТО В РЕЗУЛЬТАТЕ ПОЛУЧИТСЯ ДАННОЕ ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО. НАЙТИ ЭТО ЧИСЛО. РЕШЕНИЕ. ПУСТЬ a ЦИФРА ДЕСЯТКОВ, b ЦИФРА ЕДИНИЦ В ЧИСЛЕ, ТОГДА ЧИСЛО ЗАПИШЕМ КАК 10a b . СОСТАВИМ ПО УСЛОВИЯМ ЗАДАЧИ СИСТЕМУ x 0, ЕСЛИ , ТО y 0 УРАВНЕНИЙ 10a b 3 a b 7, . 2 2 a b ab 10 a b 2 ИЗ ПЕРВОГО УРАВНЕНИЯ СЛЕДУЕТ, ЧТО a 1 b . ТАК КАК a ЦИФРА, ТО b 7 ДЕЛИТСЯ НА 7 БЕЗ ОСТАТКА И МОЖЕТ ПРИНИМАТЬ ДВА ЗНАЧЕНИЯ: 0 ИЛИ 7. В ПЕРВОМ СЛУЧАЕ a 1 , А ЧИСЛО 10 ДЕЛИТСЯ НА 1 БЕЗ ОСТАТКА. ВО ВТОРОМ СЛУЧАЕ a 3 , А ЧИСЛО 37 ЯВЛЯЕТСЯ РЕШЕНИЕМ ВТОРОГО УРАВНЕНИЯ, ТО ЕСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ И РЕШЕНИЕМ ЗАДАЧИ. ОТВЕТ: 37. 12.НАЙДИТЕ МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ y 8 x 6 4 x 2 . РЕШЕНИЕ. ОДЗ ФУНКЦИИ: 4 x 2 0 2 x 2 . ОЧЕВИДНО, ЧТО НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИЯ ПРИНИМАЕТ НА ПРОМЕЖУТКЕ 2;0 , ТОГДА ЗДЕСЬ y 0 , ПОЭТОМУ ФУНКЦИЯ ДОСТИГАЕТ НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ПРИ ТЕХ ЖЕ x , ЧТО И y 2 . НАЙДЕМ y 2 36 4 x 2 96 4 x 2 64 x 2 4 4 4 x 2 3x 400 400 . 2 ТОГДА НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ y 400 20 ПРИ 4 4 x 2 3x 0 x 1,6 . НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИЯ ПРИНИМАЕТ НА 0;2 ПРИ x 2 . ОНО СОСТАВЛЯЕТ y 16. ОТВЕТ: 16;20.