18. Влияние температуры на интенсивность рассеяния. Фактор Дебая-Валлера.

18. Влияние температуры на интенсивность рассеяния.
Фактор Дебая-Валлера.
ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НА АМПЛИТУДУ РАССЕЯНИЯ
rj =am+bn+cp
Для упрощения рассуждений будем полагать,
что (приближение Дебая):
1. Колебания всех атомов изотропны в пространстве
2. Колебания всех атомов независимы
Еще следует вспомнить
1. Так как смещения атомов вызваны тепловыми колебаниями, период тепловых колебаний
атомов решетки намного меньше (~1012 ) периода колебаний падающей электромагнитной
волны (~1018 ) и поэтому в каждом акте рассеяния атомы можно считать неподвижными
(эффект Доплера можно не учитывать).
2. Время наблюдения много больше периода колебаний атомов, следовательно усреднять
интенсивность рассеяния можно не по времени, а по всем конфигурациям атомов с разными
значениями смещений uj, т.е. по всему статистическому ансамблю (идея Дебая).
(Частоты колебаний атомов ~1012, частоты колебаний рентгеновского волнового поля ~1018).
С учетом сделанных допущений
амплитуду рассеянной волны
на колеблющейся решетке можно
записать в обычном виде
E  E0   f j  e
j

i H,rj +u j

Петер Йозеф Вильгельм Дебай
(Peter Joseph Wilhelm Debye)
(24.03.1884 - 02.11.1966)
Дебай (Debve) Петер Йозеф Вильгельм, физик-теоретик. По
национальности голландец. Окончил Высшую техническую
школу в Ахене (1905) и Мюнхенский университет (1910).
Профессор в Цюрихе (1911 и 1920), Утрехте (1912),
Гёттингене (1914), Лейпциге (1927), Берлине (1935). Директор
Кайзер-Вильгельм института физики в Берлине (1935). С
1940 профессор Корнеллского университета в Итаке (США).
В 1912 Дебай предложил модель твёрдого тела, с помощью которой он доказал, что
при низких температурах теплоёмкость кристаллической решётки пропорциональна
кубу абсолютной температуры, а также дал теорию теплопроводности диэлектрических
кристаллов. В этой модели Д. ввёл понятие т.н. температуры Дебая. Разработал
дипольную теорию диэлектриков, основанную на представлении о молекулах как о
жёстких диполях. Его метод наблюдения интерференции рентгеновских лучей в
кристаллических порошках и жидкостях (Дебая - Шеррера метод) нашёл практическое
применение в исследовании структуры веществ. Д. принадлежит также ряд работ по
теории твёрдого тела, атома, проводимости электролитов и др. Именем Д. названа
единица измерения дипольных моментов – дебай. Дебай заложил основы современной
статистической физики.
Нобелевская премия по физике (1936).
Запишем интенсивность волны
рассеянной на колеблющихся атомах решетки
I  E× E
*
2
i  H,rj -u j 
 i  H,rj' -u j' 
 E0 
I  E× E      f j f j '  e
e

 R  j j'
*
2
i  H,rj -rj' 
 i  H,u j -u j' 
 E0 
     f j f j '  e
e
 R  j j'
Первый сомножитель в двойной сумме
есть не что иное как функция Лауэ
Определим среднее значение интенсивности
на колеблющейся решетке
i  H,rj -rj' 
 i  H,u j -u j' 
 E0 
I      f j f j '  e
e

 R  j j'
i  H,rj -rj' 
 E0 
 ip jj '
     f j f j '  e
e

 R  j j'
i  H,rj -rj' 
 E0   ip jj '
 ip jj '
2
  e
  f j f j '  e
 L He
 R
j
j'
Введем обозначение
 H,u
j
- u j'   p jj '
Написанную выше экспоненту можно разложить в степенной рад
e
x
x x 2 x3
xn
 1    ...   ...
1! 2! 3!
n!
- степенной ряд
ip   ip   ip 




2
e
 ip jj '
 1  ip jj '
 1  i p jj'
p 


jj '
2!
2
3
jj '
jj '
jj '
2!
3!
4!
p  p 

i

3
jj '
jj '
3!
4!
4
 .... 
4
 ....
Учитывая, что противоположные и равновеликие смещения атомов
равновероятны, одинаковы вероятности противоположных
по знаку значений величин pjj’ (допущения Дебая). Следовательно все
нечетные степени ряда можно положить равными нулю и перезаписать
e
 ip jj '
 1
p jj '
2
2!

p jj '
ip jj '
4
4!
 ....
Следовательно величина e
является действительной величиной
Так как смещения атомов малы по сравнению с величиной межатомного
расстояния можно опустить все члены ряда выше второго порядка.
e
 ip jj '
Вспоминая степенные ряды
 1
e
p jj '
2
2
2 3
n



 1    ...   ...
1! 2! 3!
n!
если   1_ то _ e  1
Следовательно выражение для экспоненты можно переписать в виде
e
 ip jj '
 1
p jj '
2
2
p jj '2

e 2
p jj '   H,u j - u j'  
sin
H  2 k  sin  4 
2d sin   

 2k  sin   u j  u j '  4 
p jj ' 
2
2
2
16 2 sin 2 

2
u j - u j' = u j + u j' - 2 u ju j'
2
2
sin 

 u j  u j'
 uj  uj'
2
u j  u j'  us
2
Это результат приближения Дебая
2
u j ,u j'  0
p jj ' 
2
16 sin 
2

2
2
16 sin 
2
2
 2 u jj ' 

2
2
 2 us
2
Подставим полученное значение параметра p в выражение для средней интенсивности
2
2
i  H,r -r 
 i  H,u j -u j' 
i  H,r -r 
E 
E 
 ip
I   0    f j f j '  e j j'  e
  0    f j f j '  e j j'  e jj ' 
 R  j j'
 R  j j'
2
i  H,r -r 
 E   ip
 ip
  0   e jj '   f j f j '  e j j'  L2  H   e jj '
 R
j
j'
2
 E0 
I     LH e
 R
1
 p jj '
2
2
 E0 
    LH e
 R
1  4 sin  
 
2 us 2

2  
2

2
 E0 
2 M
    LH e
 R
 sin  
2
M  8  

u
 s



2
Температурный фактор или
фактор Дебая-Валлера
В написанном выше выражении выделим слагаемые с индексами j=j’
2
 i  H,rj -rj' 
 E0 
2 M
I      f j f j  e
e

 R  j j'
 E0 
 
 R
2

 i H , rj  rj '  
2 M
 N  e    f j f j'  e

j j '


2
 E0 
     N  e 2 M  L  H  
 R
Добавляя и вычитая член Ne-2M к полученному выше выражению получим
2
 E0   2 M 2
2 M
I  H      e  L  H   N 1  e  
 R 
 sin  
2
M  8  

u
j

  
2
- Температурный фактор или
фактор Дебая-Валлера
Первое слагаемое описывает значения
интенсивности дифракционных пиков
ослабленные за счет тепловых колебаний.
Второе слагаемое пропорционально числу
рассеивающих атомов и монотонно возрастает
с увеличением угла рассеяния. Это диффузное
рассеяние. Его рост с углом  связан с
предполажением о независимости
тепловых колебаний атомов друг от друга
(приближение Дебая)
Иллюстрация теплового рассеяния
рентгеновского излучения на
лауэграммах
Рентгенограммы кристалла KCl полученные на излучении MoK.
Хорошо видно появление диффузного рассеяния между
рефлексами. Иногда интенсивность диффузных пятен иногда
сопоставима с интесивностью основных рефлексов.
Изодиффузные линии теплового рассеяния для кристалла b-AuZn
 sin  
2
M  8  
 uj
  
2
Для упрощения рассуждений будем полагать,
что (приближение Дебая):
1. Колебания всех атомов изотропны в пространстве
2. Колебания всех атомов независимы
2
12h
2M 
mk Qm
   x  1   sin  

 

4   
 x
2
m - масса атома; Q  характеристическая температура Дебая;
k - постоянная Больцмана; h - постоянная Планка;
x
1 ydy
  x   y
x 0 e  1  функция Дебая; x=Q/T
k=1,3806488.10-23дж/K; h=6,626069.10-27эрг.сек