Введение в физику дифракции 1. Основы кинематической теории рассеяния

Введение в физику
дифракции
1. Основы кинематической
теории рассеяния
РАССЕЯНИЕ
В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМАХ
Проф., дфмн Суворов Э.В.
ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
Кинематическое рассеяние
на идеальной примитивной решетке
rj  am  bn  cp
N
N
N
E  E(t )   e
m 0 n 0 p 0
ik  s s0 ,( am bn  cp ) 
 E(t )  L(s  s 0 )
Положения главных максимумов
определяются соотношениями
hkl – целые числа – индексы Миллера
Интенсивность дифракционных линий
для сложной решетки с базисом
2
2
 E0  2
 E0  2
2
2
I     L  H   F  H,rm      L  H   F  h, k , l , rm 
R
R
3
N
L  s  s0     e
a ,b , c m  0
M
F  hkl    f m  e
ikm ( s s0 ),a 
sin  N a 

a ,b , c sin  a 
3
2 i  um h  vm k  wml 
- Функция Лауэ
a 
k
 s - s 0  ,a 
2
Структурная амплитуда
m 1
1
 i  H,r 
 r    F  H   e
V H
распределения электронной
плотности в элементарной ячейке
Геометрическая интерпретация условий Лауэ.
Схема Эвальда
Уравнение Лауэ в
векторной форме
K0 - KH = H
Что означает это
векторное равенство?
1/l
P
K0
2q
KH
Q(hkl)
H
2q
K0
KH
O000
H
Геометрия дифракции по Эвальду.
Сфера Эвальда
Уравнение Лауэ
Уравнение Вульфа-Брегга
2d sin q  l
РАССЕЯНИЕ НА СЛУЧАЙНОМ СКОПЛЕНИИ
РАССЕИВАЮЩИХ ЦЕНТРОВ
Мгновенные значения
координат частиц
r1 , r2 , ...rj , ...rN
r j  ma  nb  pc
Пусть в этой системе имеется N атомов с
атомными факторами рассеяния
s0 , s
,.
k s  s
0
K-K
1
0
S
E
M
j
N
E0 N
ik  s-s0 ,rj 

  fi  e
R j 1
S - вектор в обратном пространстве, но
это не вектор обратной решетки H !!!
Решетки теперь нет.
N
Тогда мгновенное значение рассеянной
амплитуды можно записать в виде
2
единичные векторы определяющие направления
падающего и отраженного лучей
Тогда суммарная мгновенная
амплитуда волны в точке М
будет определяться формулой
Введем обозначение
f , f , ... f , ... f
E  E0   f j  e
M
j 1
i ( S ,r j )
I S  E  E
*
Мгновенное значение
рассеянной интенсивности
в точке M
E02 N N
i  S,rj 
 i  S,rj' 
I S  
  f j f j '  e
e

R j j'
E02 N N
i  S,rj -rj' 

  f j f j '  e

R j j'
E02 N N
i  S,rjj' 

  f j f j '  e
R j j'
Здесь rjj’
r jj  r j  r j
Так как в общем случае мы не можем знать мгновенные значения
координат всех рассеивающих центров, эта величина не имеет особого
смысла. Реально можно определить лишь среднее значение рассеянной
интенсивности.
Выделим из полученной суммы члены описывающие рассеяние на частицах с
одинаковыми индексами; тогда выражение для интенсивности может быть записано в
виде
E0 2 
i  S,r jj '  
2
I S 
   f j   f j f j '  e

R  j j '
j
j'

Определим среднее значение рассеянной интенсивности
2
E0
I S 
R

i S,r jj '
e


i  S,r jj '  
2
   f j   f j f j '  e

j
j'
 j j '

1 iS,r jj ' 
 e
W  r jj '  dr jj '
VV
W (r jj )
-среднее значение
фазового множителя
- вероятность распределения значений вектора
т.е. функция распределения вероятности
межатомных расстояний
r jj
РАДИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
МЕЖАТОМНЫХ РАССТОЯНИЙ
Допустим, что в объеме V имеется N частиц j1, j2,.. jN
Эти частицы могут перемещаться по этому пространству.
Рассмотрим два элемента объема dVj и dVj’. Если частицы
независимы и не взаимодействуют, вероятность того,
что в какой-то момент времени частица с индексом j попадает
в элемент объема dVj , а частица с индексом j’ попадает в
элемент объема dVj’ можно записать в виде
dV j dV j '
dP r j ,r j '  

V
V
В случае если частицы взаимодействуют друг с другом,
картина усложняется и величина вероятности примет
вид

dP r j ,r j '



dV j dV j '
 W r j ,r j ' 

V
V
Эта функция функции получила название распределения вероятности межатомных расстояний
Введем обозначение
rj , r j '   r jj '   r j - r j '   r 
тогда функцию W можно
переписать в виде
W  r j , r j'   W  r jj '   W  r j - r j '   W  r 
Выражение для вероятности dP(rjj’) можно представить в другом виде
Один из элементов объема, например, dVj можно
поместить в начало системы координат. Тогда вероятность
обнаружить частицу в сферическом слое r, r+dr , будет
иметь вид
r+dr
r
4 r 2 dr
dP  r   W  r  
V
Написанное выше
выражение удовлетворяет
условию нормировки


1
2
dP
r


W
r

4

r
dr  1




0
V 0
В самом деле - вероятность нахождения данной частицы на всех возможных
расстояниях от фиксированной в начале координат частицы должна быть равна 1
Если в этом сферическом слое находится dN частиц, тогда плотность их будет
определяться формулой , причем плотность частиц в слое будет зависеть от радиуса
слоя и является средним значением за время наблюдения.
dN
 r 
4 r 2dr
Следовательно число частиц в сферическом слое r+dr будет равно
dN    r   4 r dr
2
Вспоминая, что полное число частиц в объеме V равно N-1, т.к. одна
частица находится в начале координат, можно записать условие
нормировки

   r   4 r dr  N  1  N
2
0
Сравнивая это выражение с условием нормировки для вероятности
dP(r) получим
V
W r    r
N
a
б
2r
в
г
д
Схематический вид радиальной функции
распределения межатомных расстояний
W(r) для простейших случаев разреженных
газов, жидкостей, кристаллов:
а) - невзаимодействующие частици,
имеющие нулевой объем;
б) - несжимаемые частицы с радиусом r,
причем взаимодействие между ними
отсутствует, частицы не могут приблизиться
к началу координат ближе, чем на
расстояние 2r;
в) - сжимаемые частицы, граница в области
2r размывается
г) - для жидкостей;
д) - кристаллы
РАССЕЯНИЕ НА МОЛЕКУЛАХ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА.
УРАВНЕНИЕ ДЕБАЯ
nj
rjj’
nj’
Рассмотрим газ, содержащий N одинаковых молекул, каждая из которых
состоит из n атомов различного сорта. Рассуждения останутся справедливы и
для большого количества маленьких кристаллов случайным образом
ориентированных в пространстве (идеальный порошок). Если давление газа
мало, и взаимодействием между молекулами можно пренебречь, то за
конечный промежуток времени все ориентации молекул будут встречаться
одинаково часто. Такие системы получили название идеально
неупорядоченных. Поэтому, чтобы получить полную интенсивность рассеяния
в таком газе, необходимо определить среднее значение интенсивности
рассеянное одной молекулой и затем умножить его на число молекул N в
объеме.
nj
rjj’
nj’
n
n
j
j'
n
n
I  S    f j f j '  e
I  S    f j f j '  e
j
j'




i S ,r jj '
i S,r jj '
мгновенное значение
интенсивности рассеянное
одной молекулой
среднее значение интенсивности
рассеянное одной молекулой
Для вычисления среднего значения I(S) по
всем возможным ориентациям этой
молекулы рассмотрим два ее атома с
индексами j и j'. Введем полярные
пространственные координаты r, , , как
показано на рис, причем пусть частица nj
располагается в начале координат. Тогда
вероятность того, что частица с nj', или, что
тоже самое, конец вектора rjj’ попадет на
элемент поверхности ds, будет
rjj’
nj
W  r jj '  
rjj’
nj’
ds
s

rjj ' sin   d  rjj 'd
n
n
2 
j
j'
0 0
I  S    f j f j '    e
n
n
j
j'
I  S   N   f j f j ' 
sin  S,r jj ' 
S,r 
jj '
4 rjj ' 2

i S,r jj '
 sin   d  d

4
Это соотношение получило
название уравнения Дебая

Интегралы типа eia cos x  sin x  dx часто встречается в теории дифракции. Поэтому
мы проведем его подробное вычисление
2

1
i  S,r jj '  sin   d
0 d  0 e  4  4
iSr jj ' cos 
1
1
 2 

e
4 iSrjj '
2
0
 d  e
iSr jj ' cos 
d  cos   
0
0



1
iSr
 iSr

 e jj '  e jj ' 
2iSrjj '
1

 cos  iSrjj '   i sin  iSrjj '   cos  iSrjj '   i sin  iSrjj '   
2iSrjj '
sin  Srjj ' 
1

 2i sin  Srjj '  
2iSrjj '
Srjj '
e
 ix
 cos x  i sin x
N
N
j
j'
I  S   N   f j f j ' 
sin  S,r jj ' 
S,r 
jj '
Это выражение получило название уравнение Дебая по имени
автора. Оно описывает распределение интенсивности,
рассеянное не взаимодействующими молекулами газа.
Полученное уравнение было применено Дебаем для
мелкокристаллических порошков (поликристаллов), где каждая
частичка является маленьким кристаллом и все их ориентации в
пространстве равновероятны. Ясно, что проведенные выше
рассуждения в этом случае так же останутся в силе. Можно
показать, что уравнение Дебая после несложных
преобразований переходит в обычную функцию Лауэ.
Рентгенограммы полученные с порошковых образцов
(рентгенограммы Дебая-Шерера)
Примитивная кубическая решетка - ReO3
Объемоцентрированная кубическая решетка – порошек W
Гранецентрированная кубическая решетка
0, если  h  k  l  2n  1
F 
 2 f , если  h  k  l  2n
 4 f , если  hkl    2n  1 или  2n
F 
0, если  hkl  смешанной  четности
- Ni
Правило погасаний рефлексов для
объемоцентрированной кубической
решетки
Правило погасаний рефлексов
для гранецентрированной
кубической решетки
АТОМНЫЙ ФАКТОР РАССЕЯНИЯ
Рассеяние рентгеновских лучей на электронах в
атомах
K
S
E  S   Ee  S   f  S   Ee  S   f q , l 
1/2
K0
(r)
 e2  1  1  cos 2 2q 
Ee  E0   2   

mc
R
2

 

f q , l  
(r) - распределение электронной
плотности в атоме
S = K - K0 
2
l
  s - s0 
Для простоты расчетов будем
считать распределение электронов
в атоме сферически симметричной
функцией. Тогда можно записать.
E S 
Ee  S 
Атомный фактор рассеяния
 r 

z     r dr
0
Здесь z – число электронов в атоме
Рассмотрим проекцию атома (сферы) на плоскость XY
Положим, что на атом падает плоская волна
1
K
S
s
E
A0
K0
C
Aj
Пусть в начале координат т.е.
в точке A0 фаза волны равна нулю
0  0
Каждая точка атома (т.е. каждый
s0
rj
B
2
E  E0  eit  
электрон) под действием волны E
начинает излучать сферическую
волну. Электрон находящийся A0
излучает волну
E 0 i t 
E A0 
e
R
Здесь R расстояние от точки A0 до точки наблюдения M в направлении
вектора s (линии 1 и 2).
Первичная плоская достигнет точки Aj имея фазу
 j  k  s 0 ,rj 
Тогда вторичная сферическая волна 2 излучаемая электроном находящемся
в точке Aj будет иметь вид
1 M
K
s
E
A0
B
C
Aj
2
Будем считать что A0M>>ІrjІ
S
Волна 2 дойдет до точки наблюдения M c
дополнительной фазой за счет отрезка
пути AjC=(s,rj).Следовательно
дополнительная фаза будет равна k(s,rj)
K0
Тогда полная фаза волны 2 дошедшая до
точки M будет иметь вид
s0
rj
EA j
E0 i t  k s0 ,rj 

e
R
  k  s,rj   k  s0 ,rj    rjK    rjK 0  
   K - K 0  ,rj    S,rj 
EM
Aj 
E0 i t  k s-s0 ,rj  E0 it i Srj 
e

e e
R
R
Пусть падающий пучок
направлен вдоль оси X
Рассчитаем интенсивность
рассеянную элементом
объема dv
dv  ds  dr 
 r  d  rsin  d  dr
Атом приближенно можно рассматривать как объем с непрерывным
распределением заряда. Выделим в объеме атома элемент объема dv
на расстоянии r от центра атома. Электронную плотность в этой точке
обозначим через (r). Амплитуда волны рассеянная элементом
объема dv можно записана в виде. (Для упрощения записи опустим R)
dE  Ee    r   e
ik  s s0 ,r 
dv  Ee    r   e
ik  S,r 
dv
Подставим в это соотношение элемент объема в явном виде. Тогда
суммарная амплитуда рассеянная всеми электронами атома будет
равна интегралу по всему объему
E  Ee     r   e
iSr cos 
dv 
V
 Ee   d    r   r 2 dr  eiS cos sin   d

r

Вспоминая определение атомного фактора рассеяния
E  S   Ee  S   f q , l 
f  S   f q , l  
E S
Ee  S 
можно переписать написанное выше выражение в виде
f S  
2


0
0
0
2
iS cos 
d


r

r
dr
e
sin   d


 

ia cos x
 sin x  dx нам уже знаком по предыдущему разделу
Интеграл типа  e
ia cos x
e
 sin x  dx 

sin  ax 
ax
Интегрирование по ,  и r приводит к выражению

f sinq / l   
0
sin(Sr )
2
4 r  (r ) 
 dr
Sr
Это и есть атомный фактор рассеяния.
Он зависит от распределения
электронной плотности внутри атома.
Исследуем поведение функции f(S). Если
аргумент функции стремится к нулю,
дробь стоящая под интегралом
стремится к единице и следовательно
Исследуем поведение функции f(S). Если аргумент функции стремится к
нулю, дробь стоящая под интегралом стремится к единице и
следовательно f(S) приближается к величине Z/
s 0
sin(Sr)
1
Sr

f  sin q / l    4 r 2  (r )  dr  z
0
f sin q / l   Z
Если аргумент S растет функция f(S) убывает и стремится к нулю
S  4 
sinq
l

sin(Sr)
0
Sr
f  sin q / l   0
Вид зависимости атомной функции рассеяния
от sin q / l для нейтральных атомов Zn и Al.
(Z для Zn=40 а для Al=13).
Оценки, сделанные выше, выполнены при условии, что электроны в
атоме практически свободны и уравнение движения электрона можно
записать в виде mr  eE . Реальная ситуация сложнее - электроны в
атомах движутся по своим орбитам и имеют собственные частоты
колебаний и, следовательно необходимо рассматривать задачу
движения связанного электрона под действием внешней периодической
возмущающей силы при движении электрона т.е.mr  kr   2r  eE . И это
0
еще не все. Необходимо также учесть затухание при движении
электронов. Тогда полное уравнение движения будет иметь вид
mr  kr  0 2r  eE
В этом случае амплитуда волны, рассеянной на связанном электроне,
может быть записана в виде
2
EE  2
  0 2  ik
e
или для всех
электронов в атоме
2
E  E  2
2
n   0 n  ik
e
Из написанного соотношения видно, что, во-первых, амплитуда
рассеяния представляется комплексным числом и, следовательно,
появляется дополнительное поглощение вблизи собственных
резонансных частот, а, во-вторых, - амплитуда сильно зависит от
частоты падающей волны, т.е. имеется дисперсия. Корректный учет этих
поправок проведен в работах Лоренца.
.
Если длина волны падающего излучения достаточно далека от
края полосы поглощения, атомный фактор попросту равен f0 .
Однако при приближении длины волны падающего излучения к
краю полосы поглощения атомный фактор становится
комплексной величиной и его следует записать в виде
f  f 0  f   if 
где f0 является атомной функцией рассеяния,
полученной в предположении свободных электронов атома, а f' и
f" - дисперсионные поправки, первая из которых учитывает
дополнительное рассеяние для случая связанных электронов, а
вторая - дополнительное поглощение вблизи собственных частот
колебаний электронов в атоме. Дисперсионные поправки зависят
от длины волны и практически не зависят от sinq . А так как f0
уменьшается с ростом угла рассеяния, дисперсионные поправки
начинают играть возрастающую роль при больших углах
рассеяния.
Функции атомного рассеяния для случая свободных электронов в атоме в
зависимости от величины sin q / l и соответствующие дисперсионные поправки в
зависимости от длины волны для всех элементов таблицы Менделеева
приводятся обычно в виде таблиц. Наиболее точные значения этих величин даны
в интернациональных таблицах. (International Tables for X-Ray Crystallography, vol.14, Birmingam, IDC, 1980)
Амплитуда атомного рассеяния электронов
В дифракционных экспериментах наряду с рентгеновским
излучением используются электроны с энергией от десятков до сотен
кэв (электроны с энергией 50кэв имеют длину волны 0.037Å). Путем
несложных выкладок можно показать, что амплитуда атомного
рассеяния для электронов связана с амплитудой атомного рассеяния
рентгеновских лучей следующим выражением
Анализ написанного выражения показывает, что при больших углах
рассеяния, где fx мало, fe> Z и уменьшается обратно пропорционально
(sinq /l )2 . В электронографии и электронной микроскопии обычно
используется величина, кратная амплитуде атомного рассеяния и
входящая в первое Борновское приближение теории рассеяния
электронов, а именно
Вид функций атомного рассеяния атома водорода для
рентгеновских лучей и электронов, рассчитанный в
первом Борновском приближении.
25.0
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Оценки амплитуд атомного рассеяния электронов, сделанные выше,
приводят к важным особенностям в применении рассеяния
электронов по сравнению с рентгеновскими лучами. С одной
стороны, более высокая амплитуда рассеяния электронов (на дватри порядка) заметно повышает светосилу дифракционной картины и
наряду с возможностью фокусировки пучка падающих электронов
позволяет исследовать весьма мелкие кристаллы в
поликристаллических системах. С другой стороны, заметное
поглощение электронов с энергией порядка нескольких десятков кэв
открывает выгодную возможность изучения структуры тонких
поверхностных слоев толщиной в 10-6-10-7см. Для сравнения в
рентгенографии при оптимальных условиях регистрируется слой
около 10-2-10-4см.
Более слабая зависимость атомной амплитуды рассеяния
электронов по сравнению с рентгеновскими лучами от атомного
номера позволяет проводить структурные исследования для легких
атомов.
Наличие у электронов спина и магнитного момента открывает
дополнительные возможности для изучения магнитной структуры
материалов.
Функции атомного рассеяния для случая
свободных электронов в атоме в зависимости от
величины sinq/l и соответствующие
дисперсионные поправки в зависимости от длины
волны для всех элементов таблицы Менделеева
приводятся обычно в виде таблиц. Наиболее
точные значения этих величин даны в
интернациональных таблицах. (International Tables
forX-Ray Crystallography, vol.1-4, Birmingam, IDC,
1980)
Амплитуда атомного рассеяния для нейтронов
Для дифракционных экспериментов обычно используются
тепловые нейтроны с энергией 0.025эв, что соответствует длине
волны около 1.5Å. Оставляя в стороне вопросы, связанные с
получением и регистрацией нейтронов, остановимся лишь на
некоторых особенностях рассеяния нейтронов.
В отличии от рентгеновских лучей и электронов нейтроны
практически не взаимодействуют с электронами атома, так как
нейтроны не имеют электрического заряда - основное
взаимодействие происходит с атомными ядрами. Нейтроны слабо
поглощаются веществом (примерно в 10-100 раз меньше, чем
рентгеновское излучение). Так как размеры атомных ядер
существенно меньше длины волны тепловых нейтронов, амплитуда
атомного рассеяния нейтронов не должна зависеть от угла
рассеяния. Величина атомной амплитуды рассеяния примерно на
один-два порядка меньше по сравнению с рентгеновскими лучами.
В ядерной физике рассеяние нейтронов описывается величиной,
называемой "длиной рассеяния" b, связанной с сечением взаимодействия
2
соотношением s  4  b .
В общем случае величина b является комплексной, однако мнимая часть
является заметной величиной лишь для нескольких ядер, таких, как изотопы
бора и кадмия, которые сильно поглощают тепловые нейтроны.
Для целого ряда ядер длина рассеяния b является величиной
отрицательной, причем даже для соседних изотопов параметр b может иметь
разный знак и существенно отличаться по величине. Достаточно надежные
численные значения параметра b приведены в интернациональных таблицах
(International Tables forX-Ray Crystallography, vol.1-4, Birmingam, IDC, 1980).
Нейтроны имеют собственный магнитный момент  n  1  9131 ядерных
магнетонов. Поэтому параметр рассеяния b наряду с ядерным рассеянием
bn будет содержать член, описывающий магнитное рассеяние b  bn  bm
Рассмотренные выше особенности в рассеянии нейтронов веществом
показывают, что метод нейтронографии дополняет рентгенографию и
электронографию, а в целом ряде случаев оказывается даже более
эффективным.
Во-первых, дифракция нейтронов является по существу единственным
методом определения положения атомов водорода и других легких
элементов в кристаллической решетке.
Во-вторых, исследование положений атомов в решетке в случае, когда
они занимают соседние места в таблице элементов Менделеева (из-за,
иногда, существенного различия параметров bn).
В-третьих, исследование рассеяния поляризованных нейтронных
пучков дает информацию о структуре магнитных подрешеток (ферриты,
антиферромагнетики).
И, наконец, в-четвертых, изучение неупругого рассеяния нейтронов
позволяет экспериментально получать фононный спектр кристаллов.
а — схема нейтронографической установки
для исследования поликристаллических
образцов: 1 — система коллимации,
формирующая нейтронный пучок; 2 — блок
монохроматизации для выделения нейтронов
с определённой фиксированной энергией
(длиной волны) из сплошного спектра
нейтронов ядерного реактора; 3 —
нейтронный спектрометр с детектором
нейтронов (BF3) - 4 для измерения
интенсивности нейтронного излучения под
различными углами рассеяния J.
Исследуемый образец помещается в центре
спектрометра.
а
б
б — нейтронограмма
поликристаллического образца
BiFeO3
Типичная картина ядерной плотности молекул
(синтеза Фурье)
построенная по результата рассеяния нейтронов
a) -ядерная плотность в элементарной
ячейке кобальтпроизводного
витамина B12 (полученная по
методу синтеза Фурье).
Центральный максимум,
соответствующий атому Со, в связи
с его малой атомной амплитудой
рассеяния выражен слабо. Это
позволяет более точно определять
положение в ячейке лёгких атомов
— азота, кислорода и водорода;
b) -ядерная плотность в
периферийной группе CH3. Ядерная
плотность для атомов водорода
приведена пунктиром в
соответствии с отрицательной
атомной амплитудой водорода.
Распределение части электронной
плотности в молекуле циануровой
кислоты, построенное разностным
методом по данным совместного
рентгено- и нейтроноструктурного
анализов (разностный Фурье-синтез).
Максимумы, находящиеся в центре
связей С — О, С — N и N — H,
соответствуют электронной
плотности, ответственной за
ковалентную связь. (Приведена
половина симметричной картины.)
Магнитная структура
антиферромагнетика MnO.
Заштрихованные кружки — ионы
марганца, чёрные — ионы кислорода;
стрелки указывают направления
магнитных моментов
Сравнительные характеристики
рассеяния для рентгеновского излучения,
электронов и нейтронов
Сравнительные характеристики рассеяния
рентгеновского излучения, электронов и нейтронов
Вид приведенной атомной
функции рассеяния:
1) для рентгеновских лучей;
2) для быcтрых электронов;
3) для ядерного рассеяния нейтронов;
4) для магнитного рассеяния нейтронов
25.0
20.0
Вид функций
атомного рассеяния
атома водорода для
рентгеновских
лучей и электронов,
рассчитанный в
первом Борновском
приближении
15.0
10.0
5.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Особенности дифракции электронов

le  0, 01  0, 005 A
q  5
1
12
R~

10
m
10
0, 0110
Радиус сферы
Эвальда
Правила расшифровки электронограмм
q  5
2d sin q  l
2dq  l
1
l
: H hkl  L : Rhkl
1
H hkl 
d hkl
l
L
C
d hkl 

Rhkl Rhkl
Параметр L – константа прибора
ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НА АМПЛИТУДУ РАССЕЯНИЯ
rj =am+bn+cp
Для упрощения рассуждений будем полагать,
что (приближение Дебая):
1. Колебания всех атомов изотропны в пространстве
2. Колебания всех атомов независимы
Еще следует вспомнить
1. Так как смещения атомов вызваны тепловыми колебаниями, период тепловых колебаний
атомов решетки намного меньше (~1012 ) периода колебаний падающей электромагнитной
волны (~1018 ) и поэтому в каждом акте рассеяния атомы можно считать неподвижными
(эффект Доплера можно не учитывать).
2. Время наблюдения много больше периода колебаний атомов, следовательно усреднять
интенсивность рассеяния можно не по времени, а по всем конфигурациям атомов с разными
значениями смещений uj, т.е. по всему статистическому ансамблю (идея Дебая).
(Частоты колебаний атомов ~1012, частоты колебаний рентгеновского волнового поля ~1018).
С учетом сделанных допущений
амплитуду рассеянной волны
на колеблющейся решетке можно
записать в обычном виде
E  E0   f j  e
j

i H,rj +u j

Петер Йозеф Вильгельм Дебай
(Peter Joseph Wilhelm Debye)
(24.03.1884 - 02.11.1966)
Дебай (Debve) Петер Йозеф Вильгельм, физик-теоретик. По
национальности голландец. Окончил Высшую техническую
школу в Ахене (1905) и Мюнхенский университет (1910).
Профессор в Цюрихе (1911 и 1920), Утрехте (1912),
Гёттингене (1914), Лейпциге (1927), Берлине (1935). Директор
Кайзер-Вильгельм института физики в Берлине (1935). С
1940 профессор Корнеллского университета в Итаке (США).
В 1912 Дебай предложил модель твёрдого тела, с помощью которой он доказал, что
при низких температурах теплоёмкость кристаллической решётки пропорциональна
кубу абсолютной температуры, а также дал теорию теплопроводности диэлектрических
кристаллов. В этой модели Д. ввёл понятие т.н. температуры Дебая. Разработал
дипольную теорию диэлектриков, основанную на представлении о молекулах как о
жёстких диполях. Его метод наблюдения интерференции рентгеновских лучей в
кристаллических порошках и жидкостях (Дебая - Шеррера метод) нашёл практическое
применение в исследовании структуры веществ. Д. принадлежит также ряд работ по
теории твёрдого тела, атома, проводимости электролитов и др. Именем Д. названа
единица измерения дипольных моментов – дебай. Дебай заложил основы современной
статистической физики.
Нобелевская премия по физике (1936).
Запишем интенсивность волны
рассеянной на колеблющихся атомах решетки
I  E× E
*
2
i  H,rj -u j 
 i  H,rj' -u j' 
 E0 
I  E× E      f j f j '  e
e

 R  j j'
*
2
i  H,rj -rj' 
 i  H,u j -u j' 
 E0 
     f j f j '  e
e
 R  j j'
Первый сомножитель в двойной сумме
есть не что иное как функция Лауэ
Определим среднее значение интенсивности
на колеблющейся решетке
i  H,rj -rj' 
 i  H,u j -u j' 
 E0 
I      f j f j '  e
e

 R  j j'
i  H,rj -rj' 
 E0 
 ip jj '
     f j f j '  e
e

 R  j j'
i  H,rj -rj' 
 E0   ip jj '
 ip jj '
2
  e
  f j f j '  e
 L He
 R
j
j'
Введем обозначение
 H,u
j
- u j'   p jj '
Написанную выше экспоненту можно разложить в степенной рад
e
x
x x 2 x3
xn
 1    ...   ...
1! 2! 3!
n!
- степенной ряд
ip   ip   ip 




2
e
 ip jj '
 1  ip jj '
 1  i p jj'
p 


jj '
2!
2
3
jj '
jj '
jj '
2!
3!
4!
p  p 

i

3
jj '
jj '
3!
4!
4
 .... 
4
 ....
Учитывая, что противоположные и равновеликие смещения атомов
равновероятны, одинаковы вероятности противоположных
по знаку значений величин pjj’ (допущения Дебая). Следовательно все
нечетные степени ряда можно положить равными нулю и перезаписать
e
 ip jj '
 1
p jj '
2
2!

p jj '
ip jj '
4
4!
 ....
Следовательно величина e
является действительной величиной
Так как смещения атомов малы по сравнению с величиной межатомного
расстояния можно опустить все члены ряда выше второго порядка.
e
 ip jj '
Вспоминая степенные ряды
 1
e
p jj '
2
2
2 3
n



 1    ...   ...
1! 2! 3!
n!
если   1_ то _ e  1
Следовательно выражение для экспоненты можно переписать в виде
e
 ip jj '
 1
p jj '
2
2
p jj '2

e 2
p jj '   H,u j - u j'  
sinq
H  2 k  sinq  4 
2d sin q  l
l
 2k  sin q  u j  u j '  4 
p jj ' 
2
2
2
16 2 sin 2 q
l
2
u j - u j' = u j + u j' - 2 u ju j'
2
2
sin q
l
 u j  u j'
 uj  uj'
2
u j  u j'  us
2
Это результат приближения Дебая
2
u j ,u j'  0
p jj ' 
2
16 sin q
2
l
2
2
16 sin q
2
2
 2 u jj ' 
l
2
2
 2 us
2
Подставим полученное значение параметра p в выражение для средней интенсивности
2
2
i  H,r -r 
 i  H,u j -u j' 
i  H,r -r 
E 
E 
 ip
I   0    f j f j '  e j j'  e
  0    f j f j '  e j j'  e jj ' 
 R  j j'
 R  j j'
2
i  H,r -r 
 E   ip
 ip
  0   e jj '   f j f j '  e j j'  L2  H   e jj '
 R
j
j'
2
 E0 
I     LH e
 R
1
 p jj '
2
2
 E0 
    LH e
 R
1  4 sin q 
 
2 us 2

2 l 
2

2
 E0 
2 M
    LH e
 R
 sin q 
2
M  8  

u
 s
l


2
Температурный фактор или
фактор Дебая-Валлера
В написанном выше выражении выделим слагаемые с индексами j=j’
2
 i  H,rj -rj' 
 E0 
2 M
I      f j f j  e
e

 R  j j'
 E0 
 
 R
2

 i H , rj  rj '  
2 M
 N  e    f j f j'  e

j j '


2
 E0 
     N  e 2 M  L  H  
 R
Добавляя и вычитая член Ne-2M к полученному выше выражению получим
2
 E0   2 M 2
2 M
I  H      e  L  H   N 1  e  
 R 
 sin q 
2
M  8  

u
j

 l 
2
- Температурный фактор или
фактор Дебая-Валлера
Первое слагаемое описывает значения
интенсивности дифракционных пиков
ослабленные за счет тепловых колебаний.
Второе слагаемое пропорционально числу
рассеивающих атомов и монотонно возрастает
с увеличением угла рассеяния. Это диффузное
рассеяние. Его рост с углом q связан с
предполажением о независимости
тепловых колебаний атомов друг от друга
(приближение Дебая)
Иллюстрация теплового рассеяния
рентгеновского излучения на
лауэграммах
Рентгенограммы кристалла KCl полученные на излучении MoK.
Хорошо видно появление диффузного рассеяния между
рефлексами. Иногда интенсивность диффузных пятен иногда
сопоставима с интесивностью основных рефлексов.
Изодиффузные линии теплового рассеяния для кристалла b-AuZn
 sin q 
2
M  8  
 uj
 l 
2
Для упрощения рассуждений будем полагать,
что (приближение Дебая):
1. Колебания всех атомов изотропны в пространстве
2. Колебания всех атомов независимы
2
12h
2M 
mk Qm
   x  1   sin q 

 

4  l 
 x
2
m - масса атома; Q  характеристическая температура Дебая;
k - постоянная Больцмана; h - постоянная Планка;
x
1 ydy
  x   y
x 0 e  1  функция Дебая; x=Q/T
k=1,3806488.10-23дж/K; h=6,626069.10-27эрг.сек
Основная литература
1. Дж.Каули, Физика дифракции, Москва, Мир, 1976, с.432
2. В.И.Иверонова, Г.П.Ревкевич, Теория рассеяния ренгеновских
лучей, Москва, МГУ, 1978, с.278
3. Г.С.Жданов, Основы рентгеноструктурного анализа, Москва,
Гостехиздат, 1940, с.446
4. А.М.Гинье, Рентгенография кристаллов, Москва, Физматгиз,
1961, с.604
5. Бэкон Дж., Диффракция нейтронов, пер. с англ., М., 1957;
6. Изюмов Ю. А., Озеров Р. П., Магнитная нейтронография, М., 1966
Дополнительная литература
5. Б.Я.Пинес Лекции по структурному анализу, Харьков, ХГУ, 1957,
с.476
6. У.Вустер, Диффузное рассеяние рентгеновских лучей в
кристаллах, Москва, ИЛ, 1963, с.
7. Я.С.Уманский, Рентгенография металлов, Москва, Металлургия,
1967, с.236
8. А.Ф.Скрышевский, Структурный анализ жидкостей, Москва,
Мир, 1976, с.256