Лекция № 5 Спектральный анализ непериодических сигналов ( )

Лекция № 5
Спектральный анализ
непериодических сигналов
Между сигналом u (t ) и его спектральной плотностью S1 ( j )
существует однозначное соответствие.
Для практических приложений является важным
установление связи между преобразованием сигнала и
соответствующим этому преобразованию изменением
спектральных характеристик. Рассмотрим следующие важные
преобразования сигналов:
• смещение сигнала во времени;
• сжатие (растяжение) сигнала во времени;
• суммирование сигналов;
• дифференцирование сигнала;
• интегрирование сигнала.
Спектральный анализ
непериодических сигналов
Спектральная плотность сигнала,
смещенного во времени
Функция времени задержанного сигнала при сохранении его
формы запишется в виде:
u2 (t )  u1 (t  t0 ).
Спектральная плотность задержанного сигнала S2 ( j )
очевидно имеет вид:
S2 ( j ) 

t 2  t0

t1  t0
 j t
u
(
t
)
e
dt 
 2

u1 (t  t0 )e  jt dt .
Вводя новую переменную интегрирования
t2

t1

S2 ( j )   u1 ( )e j (t0  ) d  e jt0
  t  t0 , получим:
 j
 j t0
u
(

)
e
d


e
S1 ( j ).
1

Итак, задержка во времени сигнала на интервал t 0 приводит к
изменению спектра фаз на величину ( t.0 )
Спектральный анализ
непериодических сигналов
Спектральная плотность сигнала,
сжатого во времени

Пусть сигнал u1 (t ) длительностью
подвергся сжатию во
времени так , что новый сжатый сигнал u2 (t ) связан с
исходным соотношением:
u2 (t )  u1 (nt ), n  1.
Длительность сжатого сигнала очевидно равна  n .
Определим спектральную плотность S2 ( j ) сжатого сигнала:
.

S2 ( j ) 
n
 j t
u
(
t
)
e
dt 
 2
0

n
 j t
u
(
nt
)
e
dt
 1
0
Вводя новую переменную интегрирования
x  nt ,
получаем:
Спектральный анализ
непериодических сигналов
Спектральная плотность сигнала,
сжатого во времени:

S 2 ( j )   u1 ( x)e
0
 j
x
n


j x
dx 1
  u1 ( x)e n dx
n n0
Интеграл в правой части выражения есть не что иное, как
.
спектральная плотность
исходного сигнала при частоте
 , то есть:
1

n
S ( j )  S ( j ).
2
n
1
n
Итак, при сжатии сигнала в n раз на временной оси имеем:
• уменьшение модуля спектральной плотности в n раз;
• расширение во столько же раз его спектральных
составляющих на оси частот.
Спектральный анализ
непериодических сигналов
Спектральная плотность на выходе
сумматора сигналов
Преобразование Фурье, определяющее спектральную
плотность заданного сигнала, является линейным
преобразованием. Если на вход сумматора подать
некоторую совокупность сигналов u1 (t ), u2 (t ), u3 (t ),...,
.
обладающих спектральными плотностями соответственно
S.1 ( j ), S2 ( j ), S3 ( j ),..., то взвешенной сумме сигналов на
выходе сумматора
 a u (t )  a u (t )  a u
i
i
1 1
2
2
(t )  ...
i
будет соответствовать спектральная плотность:
S ( j )  a1S1 ( j )  a2 S2 ( j )  ...   ai Si ( j ) ,
i
где ai – произвольные числовые коэффициенты.
Спектральный анализ
непериодических сигналов
Спектральная плотность
продифференцированного сигнала
Подадим сигнал на вход линейного устройства,
осуществляющего дифференцирование сигнала. Сигнал на
выходе дифференцирующего устройства будет иметь вид:
uвых   0 du(t )
dt
,  0  const.
Используя свойство преобразования Фурье, записываемое в виде:
 dx(t ) 
F0 
 j F0  x(t )  ,

 dt 
получим:
Sвых ( j )  j 0 S ( j ).
Спектральный анализ
непериодических сигналов
Спектральная плотность сигнала
на выходе интегратора
Сигнал на выходе интегратора пропорционален интегралу
от входного воздействия u (t ) :
uвых (t ) 
где
0
1
0
 u (t )dt ,
– константа преобразования.
По аналогии с операцией дифференцирования нетрудно
найти формулу связи спектральных плотностей сигналов на
входе и выходе интегратора:
S ( j )
S вых ( j ) 
.
j 0
Спектральный анализ
непериодических сигналов
Практическая ширина спектра сигнала
Реальные сигналы всегда ограничены во времени,
следовательно, их амплитудный спектр теоретически неограничен.
Однако реальные сигналы генерируются и передаются
устройствами, содержащими инерционные элементы (например,
емкости и индуктивности в электрических цепях и прочих
преобразователях). Поэтому они не могут содержать гармонических
составляющих сколь угодно высоких частот.
В связи с этим возникает необходимость ввести в рассмотрение
модели сигналов, обладающих как конечной длительностью, так и
ограниченным спектром. При этом в соответствии с каким-либо
критерием дополнительно ограничивается либо ширина спектра,
либо длительность сигнала, либо оба параметра одновременно.
Чаще всего в качестве такого критерия используют
энергетический критерий, согласно которому практическую ширину
амплитудного спектра  пр выбирают так, чтобы в нем была
сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.
Спектральный анализ
непериодических сигналов
Практическая ширина спектра сигнала
Для ее оценки используют равенство Парсеваля, позволяющее
выразить энергию сигнала через S ( ) :

Eс 

u (t ) dt 
2

Tп

u (t ) dt 
2
0
1

 0
S ( ) d
2
Практическая ширина спектра сигнала, сосредоточенная в диапазоне
частот от 0 до некоторого значения , определяется из
соотношения:

1

гр

0

S ( ) d 

2

 S ( )
2
d
0
Здесь  гр – граничная частота, определяющая верхнее значение
спектра сигнала;  – коэффициент, значение которого выбирают в
интервале от 0.9 до 0,998 в зависимости от требований к качеству
воспроизведения сигнала.
Спектральный анализ
непериодических сигналов
Практическая ширина спектра
экспоненциального импульса
Задача: определить граничную частоту спектра сигнала вида:
u (t )  u0 e  at , t  0 ,
ориентируясь на практическую ширину спектра сигнала с
  0,95.
Спектральные характеристики такого сигнала равны:
u0
S ( j ) 
;
a  j
S ( ) 
u0
a 
2
2
.
Трансцендентное уравнение, решение которого позволяет определить
, имеет вид:  гр
 гр
u02

0

d
d
2
 0, 95u0  2
2
2
2
a 
a


0
Спектральный анализ
непериодических сигналов
Практическая ширина спектра
экспоненциального импульса
Задача: определить граничную частоту спектра сигнала вида:
u (t )  u0 e  at , t  0 ,
ориентируясь на практическую ширину спектра сигнала с
Принять a  103 1 сек.
  0,95.
Исходя из трансцендентного уравнения, решение которого позволяет
определить  гр , получаем:
d
1
  1 
0 a 2   2  a arctg a 0  a  2 .

Отсюда:

arctg  гр
 a



0,95

,

2

и
 гр  1,37 104 1 с .