Затухающие колебания

Затухающие колебания
Логарифмический декремент затухания
Добротность
Сопротивление среды
 Действие среды может быть учтено в
дифференциальном уравнении колебаний
введением дополнительной силы
сопротивления. В отсутствие трения и при
небольших скоростях сила сопротивления
пропорциональна скорости:
Fсопр   rv  rx
где r – коэффициент сопротивления.
,
Динамическое уравнение затухающих
колебаний
 При наличии сопротивления ускорение
материальной точки, совершающей колебания,
обусловлено действием двух сил:
возвращающей (квазиупругой) и силы
сопротивления.
По второму закону Ньютона:
mw  Fóï ð  Fñî ï ð
Динамическое уравнение затухающих
колебаний
 В проекциях на ось ОХ :
mwx  Fx óï ð  Fxñî ï ð .
mx  kx  rx
Динамическое уравнение затухающих
колебаний
 Разделим обе части этого уравнения на т, и
введем обозначения
k
2
 0
m
,
r
 2 .
m
Получим
дифференциальное
затухающих колебаний:
x  2  x   x  0
2
0
уравнение
Кинематическое уравнение
затухающих колебаний
 Решением данного дифференциального
уравнения является функция
x(t )  A0e



 t
cos(t  0 )
-циклическая частота затухающих
колебаний;
- коэффициент затухания – величина,
характеризующая быстроту затухания.
Амплитуда затухающих колебаний
Затухающие колебания не являются
гармоническими. Амплитуда этих колебаний
убывает по экспоненциальному закону:
A  A0 e
 t
Частота и период
 Циклическая частота собственных затухающих
колебаний системы связана с циклической
частотой свободных незатухающих колебаний
этой же системы соотношением:
   
2
T
2


2
 02   2
2
0
2
- период
затухающих
колебаний
Декремент затухания
 Отношение двух последующих амплитуд, т.е.
амплитуд в моменты времени t и
t T
A0 e
At 
 T

e
  t T 
At  T  A0 e
 t
называется декрементом затухания.
Логарифмический декремент
затухания
 Натуральный логарифм этого отношения
называется логарифмическим декрементом
затухания:
 t
A0 e
  ln
 T
  t T 
A0 e
,

T

Логарифмический декремент затухания
характеризует затухание колебаний за период, а
коэффициент затухания за единицу времени.
Время релаксации
 Важной характеристикой затухающих
колебаний является также время релаксации,
в течение которого амплитуда колебаний
 t
уменьшается в е раз.
Ae
0
A0 e
e
 
e
;
  t  
e
1 .


Коэффициент затухания – это величина, обратная
времени релаксации.
Логарифмический декремент
затухания
 За время затухания (релаксации) система
совершит
N

колебаний.
T
Подставив в это соотношение
соответствующие выражения, получим
1
1 1

N

N
 
,
Логарифмический декремент затухания равен обратному
числу колебаний, совершаемых системой за время
релаксации.
Добротность
 Колебательную систему можно характеризовать
её способностью изменять энергию колебаний за
определённый период времени.
Величина, равная
E (t )
Q  2
E (t )  E (t  T ) ,
называется добротностью колебательной системы.
Добротность
 Энергия колебаний пропорциональна
квадрату амплитуды , поэтому добротность
можно записать в виде :
2
A (t )
Q  2 2
2
A (t )  A (t  T )
Добротность

 t
Подставив значение A  A0 e
в
последнее равенство и сделав преобразования,
получим значения для добротности,
определяемые через различные параметры
колебательной системы :

Q
 T

Q

Q  N