Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия

Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия
механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил
трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда постепенно
уменьшается. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение, в первом
приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы,
вызывающие затухание механических колебаниях, пропорциональны скорости. Эти
силы, независимо от их происхождения, называют силами сопротивления.
(7.17)
где r - коэффициент сопротивления, v - скорость движения. Запишем второй закон
Ньютона для затухающих колебаний тела вдоль оси ОХ
или
(7.18)
Перепишем это уравнение в следующем виде:
и обозначим:
где
представляет ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания
системы при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r = 0. Эту частоту называют
собственной частотой колебания системы; β - коэффициент затухания. Тогда
(7.19)
Будем искать решение уравнения (7.19) в виде
где U - некоторая функция от t.
Продифференцируем два раза это выражение по времени t и, подставив значения
первой и второй производных в уравнение (7.19), получим
Решение этого, уравнения существенным образом зависит от знака коэффициента,
стоящего при U. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положительный. Введем
обозначение
тогда С вещественным ω решением этого уравнения, как мы
знаем, является функция
Таким образом, в случае малого сопротивления среды
(7.19) будет функция
, решением уравнения
(7.20)
График этой функции показан на рис. 7.8. Пунктирными линиями показаны пределы, в
которых находится смещение колеблющейся точки. Величину
называют
собственной циклической частотой колебаний диссипативной системы. Затухающие
колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них никогда не
повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения.
Величину
обычно называют периодом затухающих колебаний, правильнее условным периодом затухающих колебаний,
Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за другом
через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим
декрементом затухания.
Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается
в е раз. Тогда
откуда
Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная
промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина τ
называется временем релаксации.
Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз, Тогда
Следовательно, логарифмический декремент затухания δ есть физическая величина,
обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в е раз