Негармонические периодические напряжения и токи

12 лекция
Негармонические
периодические напряжения и
токи в линейных цепях
© 2001 Томский политехнический университет, кафедра ТОЭ, автор Носов Геннадий Васильевич
Негармонические
периодические
напряжения и токи
Негармонические
периодические
напряжения и токи как
функции времени f(t) с
периодом Т могут быть
представлены в виде
тригонометрического
ряда Фурье
Ряд Фурье:
f (t )  A 0 


к 1
к 1
 Bк sin кt   Cк cos кt 
 A0 

 Amк sin( кt  к )
к 1
Где
Т
1
A 0   f (t )dt
T0
- постоянная составляющая
T
2
Bк   f (t ) sin( кt ) dt
T0
- амплитуда синусной
составляющей к гармоники
T
2
Cк   f (t ) cos(кt ) dt
T0
- амплитуда косинусной
составляющей к - гармоники
Amк 
2
Bк
2
 Ск
- амплитудное значение
к - гармоники
Cк
к  ( 180)  arctg
Вк
- начальная фаза к –
гармоники, причем 180
градусов учитывается при
Bk<0
к  1,2,3...
- порядковый номер
гармоники
2 1
  2f  ,
T c
- угловая частота первой
(основной) гармоники
Гармонический состав f(t) можно
задать при помощи
дискретных спектров
амплитуд и фаз, причем
разложение в ряд Фурье f(t)
может осуществляться
аналитически, приближенно
по специальным формулам и
при помощи ЭВМ
После разложения f(t) в ряд
Фурье учитываются
постоянная
составляющая и
несколько наибольших по
амплитуде гармоник, а
остальные гармоники
отбрасываются
а) спектр амплитуд
А mк
Аm1
А0
0
Аm 2
Аm 3
1
2
3
4
Аm4
к
б) спектр фаз
к
90
1
2
0
1
2
3
3
4
4
к
Пример
u(t )  1  2 sin t  1sin( 2t  90), B
где
U0  1 B
Um1  2 B
Um 2  1 B
1  0
2  90
B
3
u(t)
u(t )  U0  u1  u 2
2
U0
1
u2
0
-1
u1 t
-2
-3
T  2

Значения
негармонических
периодических
напряжений и
токов
Представленных в виде
f (t )  A0  Am1 sin( t  1 ) 
 Am 2 sin( 2t  2 )  ...
1. Среднее за период
значение
T
1
A 0   f (t )dt
T0
- это постоянная составляющая
2. Среднее по модулю
значение
T
Aср
1
  f (t ) dt
T0
3. Максимальное значение
Am
- это наибольшее по
модулю значение f(t)
f(t)
Am
f(t)
0
t
4. Действующее значение
A
- это среднеквадратичное
значение f(t) за период Т
T
2
A m1
2
Am 2
1 2
2
A
f (t ) dt  A 0 

 ... 

T0
2
2

2
A0
2
 A1
2
 A2
 ...
Где
Am1
Am 2
A1 
, A2 
...
2
2
- действующие значения
отдельных гармоник
Например:
i(t )  6  8 2 sin( t  30) 
 7.07 sin( 3t  60), A
2
7.07
I 6 8 
 11.18 A
2
2
2
u(t )  3  4 2 sin( t  90), B
2
2
U 3 4 5B
Действующие значения тока
(I) и напряжения (U)
характеризуют тепловую
мощность в R:
2
U
PI R
, Вт
R
2
Измерения
величин
периодических
напряжений и
токов
1. Действующие значения
могут быть измерены
вольтметрами и
амперметрами
следующих систем:

           

             

              

    
2. Постоянные составляющие
измеряются
вольтметрами и
амперметрами
магнитоэлектрической
системы:
3. Средние по модулю
значения напряжений и
токов фиксируются при
помощи вольтметров и
амперметров
магнитоэлектрической
системы с выпрямителем:
4. Максимальные и
мгновенные значения
(функции времени)
напряжений и токов
измеряются при помощи
осциллографов
Коэффициенты
негармонических
периодических
напряжений и
токов
Коэффициенты
периодических
напряжений и токов
используются для оценки
отличия их от
гармонических функций
1. Коэффициент формы
(отношение действующего
значения функции к среднему)
А
Кф 
Аср
для синусоиды Кф  1,11
2. Коэффициент амплитуды
(отношение максимального
значения функции к
действующему)
Аm
Ка 
A
для синусоиды Ка  2  1,41
3. Коэффициент искажения
А1 Аm1
Ки 

А
2A
для синусоиды Ки  1
4. Коэффициент
гармоник
Кг 
2
А2
2
 А3
 ...
А1
для синусоиды Кг  0
( А 0  0)
Для практически
синусоидальных токов и
напряжений:
Кг  0,05
Мощность
при
периодических
напряжениях и
токах
Рассмотрим двухполюсник:
i( t )
+
u(t )
Напряжение и ток двухполюсника
u(t )  U 0  2U1 sin( t  1 ) 
 2U 2 sin( 2t   2 )  ...
i(t )  I 0  2I1 sin( t  1 ) 
 2I 2 sin( 2t   2 )  ...
1. Активная мощность
периодического
тока произвольной формы
определяется как среднее значение
мгновенной мощности за период
основной гармоники
T
1
P   u  idt
T 0
При этом
P  P0  P1  P2  ...  U0I 0 
 U1I1 cos 1  U 2I 2 cos  2  ... , Вт
где
1  1  1
2   2  2
……………
Таким образом, активная
мощность периодического
несинусоидального тока
равна сумме активных
мощностей отдельных
гамоник, включая постоянную
составляющую
2. Реактивная мощность Q:
Q  Q1  Q 2  ... 
 U1I1 sin 1  U 2I 2 sin 2  ... , вар
3. Полная мощность S
(определяют как произведение
действующих значений тока и
напряжения ):
S  UI 

2
I0
2
U0
2
 I1
2
 U1
2
 I2
2
 U2
 ... 
 ... , ВА
Причем
в большинстве случаях для
негармонических функций
2
S  P Q
2
Если
2
S  P Q
то формы
одинаковы
2
u(t )
i( t )
f(t)
u(t )
i( t )
0
t
4. Коэффициент мощности
P
cos    1
S
P

где    arccos  
S
Расчет линейных
цепей
при
периодических
напряжениях и
токах
После разложения
периодических ЭДС и
токов источников тока в
ряд Фурье линейную цепь
можно рассчитывать
методом наложения, т.е.
рассчитывать постоянную
составляющую и каждую
гармонику напряжений и
токов по отдельности
При этом R=const и:
(к )
ХL
 кXL  кL
(к )
ХС
(к )
ХМ
ХС
1


к к C
 кXМ  кМ
Пример
а
R
e(t )
L
J(t )
+
С
uC ( t )
i L (t )
в
Дано:
e(t )  E0  2E1 sin( t  1 )
J (t )  J 0  2J 2 sin( 2t   2 )
, R, L, C
Определить:
i L ( t ) , uC ( t )
1. Расчет постоянных
составляющих (к=0)
R
а
U C0
Е0
I L0
+
в
J0
I L0   J 0
U C 0  E0  I L 0 R  E 0  J 0 R
2. Расчет первых
гармоник (к=1)
R
Е1
jXL
а
+
 jXC
I L1
U C1
в
E1  E1e
j1
1
; X L  L
; XC 
C
E1
j1
I L1 
 I L1e , A
R  jXL  jXC
UC1  I L1 (  jXC )  UC1e
j1
,B
3. Расчет вторых
гармоник (к=2)
j2 X L
R
 jXC
IL2
а
+
UC2
2
в
J2
J 2  J 2e
j 2
 jXC
IL2
2
 J 2
XC
R  j2XL  j
 I L 2e
2
j 2
,A
UC2
 jXC 

( R  j2 XL )

2 

 J2

jXC
R  j2 XL 
2
 U C 2e
j 2
,B
Окончательный результат
i L (t )   J 0  2I L1 sin( t  1 ) 
 2I L 2 sin( 2t   2 ), A
uC (t )  UC0  2UC1 sin( t  1 ) 
 2UC2 sin( 2t   2 ), В