Понятие производной

Задача о вычислении мгновенной скорости
s ( t ) = 4 t² - закон движения материальной
точки по прямой
s - путь, пройденный за время t (t ≥ 0)
v
Вычислим ср - среднюю скорость точки за
промежуток времени от t 1 = 2 до t 2 = 5
s (5) = 4 · 5² = 100;
s (2) = 4 · 2² = 16;
s (5) ̶ s (2) = 100 – 16 = 84;
t 2 - t 1 = 5 – 2.
s  5  s  2 
84
vср 

 28.
52
3
Задача о вычислении мгновенной скорости
s(t)=4t²
Вычислим v ср
за промежуток времени от t до t + Δ t
s (t + Δ t) = 4 (t + Δ t)² ;
s (t) = 4 t ²;
Δ s = s (t + Δ t) ̶ s (t) – путь, пройденный
точкой за промежуток времени от t до t + Δ t
Δ s = 4 (t + Δ t)² - 4 t ² = (8 t + 4Δ t) Δ t ;
8t  4t  t
s

vср 

 8t  4t.
t
t
Общий случай:
точка движется по прямой по закону s(t) = f (t)
Тогда её мгновенной скоростью v в момент
времени t называют предел (если он существует),
к которому стремится её средняя скорость на
промежутке времени [t; t + Δt] при Δ t → 0 :
f
lim
.
v =Δlim
v
=
ср
t→0
Δ t → 0 t
Величина Δ t – приращение времени
Величина Δ f = f(t + Δt) – f(t) - приращение пути
f
v = Δlim
.
t→0
t
Повторение: вычисление тангенса угла
наклона прямой к оси Ох
у
y=kx
y
k
x
ВС
у

tg  
АВ
х
С
А
0
 
х В
у
х
tg   k
Очевидно – при параллельном переносе
прямой, тангенс угла наклона остаётся
равен угловому коэффициенту прямой
Дадим определение касательной к графику
функции
у
y
С
tg  
x
у  х0  х 
●
у
A

х
●
у0
 α
0
В
х х  х0  х
х0
k сек. = tg β
у
у = f(x)
х
Касательной к графику функции f(x) в точке
А( х; f (х) ) называется прямая, представляющая
предельное положение секущей АС, (если оно
существует) когда точка С стремится к точке А.
Задача о вычислении тангенса угла
наклона
касательной
к
графику
функции
y
y  f (x)
tg  
y
x
= k сек.
y
y

0
х0

 х х
х
х
у
При
Δ
х
→
0
угловой
коэффициент
секущей
(k
)
сек.
kкас.
=
lim
k
=
lim
lim
tg
β
=
tg
α

Секущая стремится
занять положение касательной.
сек.
Δ х →к
0 угловому
Δ хΔ→
0 
х Δх→ 0
х→
0 коэффициенту
стремится
То есть, касательная есть предельное положение секущей.
касательной (kкас. )
Задача о
вычислении
мгновенной
скорости
f
v = Δlim
.
t→0
t
Задача о вычислении
тангенса угла наклона
касательной к графику
функции
у k
tg α = lim
 кас.
Δх→ 0 х
В каждой из задач надо было найти предел
отношения приращения функции к
приращению аргумента, при условии, что
приращение аргумента стремится к нулю
13.10.2019
Понятие
производной
Тайны планетных орбит.
Древнегреческие учёные умели решать
немногие задачи кинематики – рассчитать
либо равномерное прямолинейное движение,
либо равномерное вращение вокруг оси.
А планеты на небосводе двигались по самым
замысловатым кривым . Свести эти движения
планет к простым древним учёным не
удавалось.
Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну
Кеплеру удалось сформулировать законы
движения планет. Оказалось, что планеты
движутся по эллипсам, и притом неравномерно.
Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.
В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы
динамики, сформулировал закон всемирного
тяготения и развил математические методы,
позволявшие сводить неравномерное к
равномерному, неоднородное к однородному,
криволинейное к прямолинейному.
В основе лежала простая идея – движение
любого тела за малый промежуток времени
можно приближённо рассматривать как
прямолинейное и равномерное.
Одновременно с Ньютоном немецкий
философ и математик Готфрид Вильгельм
Лейбниц изучал, как проводить касательные к
произвольным кривым.
Он также развил новое исчисление, которое
оказалось по сути дела тождественным
построенному Ньютоном. Обозначения,
введённые Лейбницем, оказались настолько
удачными, что сохранились и по сей день.
Новая математика Ньютона и Лейбница
состояла из двух больших частей –
дифференциального и интегрального
исчислений.
В первом из них говорилось, как, изучая
малую часть явления, сводить неравномерное
к равномерному.
Во второй – как из малых равномерных
частей конструировать сложное
неравномерное явление.
• Пусть точка движется вдоль прямой
по закону S(t).
Тогда за промежуток времени t точка
проходит расстояние S(t).
Пусть ∆t – малый промежуток времени.
Путь, пройденный за время t+ ∆t, равен
S(t+ ∆t ).
Тогда средняя скорость
vср.
S (t  t )  S (t )

t
• Очевидно, если ∆t
Значит,
0, то Vср.
Vмгн.
S (t  t )  S (t )
v м гн.  lim
t  0
t
S
или v м гн.  lim
,
t  0 t
где t  приращение времени
S - приращение пути.
Пусть дана функция у=f(х)
y
f ( x)  f ( x0  x)
f
f ( x0 )
0
х0
x
х
x
∆х=хх0 – приращение аргумента
Пусть х – произвольная точка в окрестности
Разность f(x)-f(x0) называется приращением функции
фиксированной точки х0
и обозначается
f
∆f =Разность
f(x)-f(xх-х
0)
или
0 называется
∆f =f(x
0+ ∆x)-f(x
0) - приращение
приращением
аргумента
и обозначается функции
x
∆ x =x-x0
х=х0+ ∆ x
Таким образом, чтобы вычислить
приращение функции f(x) при переходе от
точки x0 к точке x = x0 + Δx , нужно:
1. найти значение функции f(x0);
2. найти значение функции f(x0 + Δx)
3. найти разность f(x0 + Δx) – f(x0)
В математике операция нахождения предела
отношения приращения функции Δ f к
приращению аргумента Δ x , при условии, что
приращение Δ x → 0 называется -
дифференцирование функции
Результат выполнения называют
производной и обозначают:
f
f '(x)= lim
.
Δ х → 0 х
f  x 
Определение производной
Производной функции в точке x называется
предел отношения приращения функции в этой
точке (∆f )
к соответствующему приращению аргумента
(∆x), когда приращение аргумента стремится к
нулю
Определение производной
Производной функции f ( x) в точке х0
называется
число, к которому
f
отношение
при х  0.
x
стремится
Алгоритм нахождения
производной
1. Зафиксировать значение х0, найти f(x0).
2. Дать аргументу х0 приращение ∆х, перейти в
новую точку х0 + ∆х, найти f(x0 + ∆х).
3. Найти приращение функции:
∆f = f(x0 + ∆х) – f(x0).
1. Составить отношение
2. Вычислить
lim
∆x→0
∆f
.
∆х
∆f
.
∆х
3. Этот предел и есть f ′(x0).
Примеры
1. Найти производную функции y = kx + b в
точке хo
1. f xo   kxo  b
2. f xo  Δx   k x o  Δx   b
3. Δf  f x o  Δx   f x o   k x o  Δx   b  kxo  b  
 kxo  k  Δx  b  kxo  b  k  Δx
Δf
k  Δx
4.

k
Δx
Δx
Δf
5. lim
 lim k   k
Δx 0 Δx
Δx 0

kx  b 
k
Примеры
2. Найти производную функции y = C (C – const)
в точке хo
1. f xo   С
2. f xo  Δx   С
3. Δf  f xo  Δx   f xo   С  С  0
4.
Δf
0

0
Δx Δx
Δf
5. lim
 lim 0  0
Δx  0 Δ x
Δx  0

С 
0
Примеры
3. Найти производную функции y = x2 в точке хo
1. f xo   xо 
2
2. f xo  Δx   xo  Δx 
2
3. Δf  f x o  Δx   f x o   x o  Δx   x o  
2
2
 x о2  2 x o  Δx  Δx 2  x о2  2 x o  Δx  Δx 2
2x o  Δx  Δx 2 Δx 2 x o  Δx 
Δf
4.


 2 x o  Δx
Δx
Δx
Δx
Δf
5. lim
 lim 2 x o  Δx   2 x o
Δx  0 Δ x
Δx  0

x   2х
2
Примеры
4. Найти производную функции y = √x в точке хo
1. f x o   x o
2. f xo  Δx   xo  Δx
3. Δf  f xo  Δx   f x o   x o  Δx  x o 


x o  Δx  x o


x o  Δx  x o

x o  Δx  x o
x o  Δx  x o
x o  Δx  x o
Δf
4.

Δx Δx

 
x o  Δx
  x 

2
o
x o  Δx  x o
Δx
x o  Δx  x o
Δx

x o  Δx  x o
2
1
x o  Δx  x o

Δf
4.

Δx Δx

Δx

x o  Δx  x o

1
x o  Δx  x o


Δf
1
1


5. lim
 lim

 2 x
Δx 0 Δx
Δx 0 x  Δx 
x
o 
o
 o
 

1
x 
2 х
Примеры
5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo
1
1. f x o  
xо
1
2. f x o  Δx  
x o  Δx
1
1
3. Δf  f x o  Δx   f x o  


x o  Δx x o
x o  x o  Δx 
 Δx

 2
x o x o  Δx 
x о  x o  Δx
Δf
 Δx
1
4.

 2
2
Δx Δx x о  x o  Δx
x о  x o  Δx


Δf
 Δx
1
4.

 2
2
Δx Δx x о  x o  Δx
x о  x o  Δx




Δf
1
1
   2
5. lim
 lim  2
Δx 0 Δx
Δx 0 x  x  Δx
xо
o
 о


1
1
   2
х
х 
Таблица производных
f (x)
C
f ′(x)
0
f (x)
√x
f ′(x)
1/(2√x)
kx + b
k
ex
ex
x2
2x
ax
ax lna
xn
nxn–1
tg x
1/cos2x
1/x
– 1/x2
ctg x
– 1/sin2x
sin x
cos x
ln x
1/x
cos x
– sin x
loga x
1/(x lna)
Механический смысл производной
s
vмг. (t) = lim
Δ t → 0 t
Механический смысл производной состоит в
том, что производная пути по времени равна
мгновенной скорости в момент времени t0:
S'(t)= Vмг(t)
Геометрический смысл
производной.
Производная функции в точке x0 равна
угловому коэффициенту касательной к
графику функции y = f(x) в этой точке.
f x0   tg  k