Алгебраические выражения

Алгебраические выражения


Виды алгебраических выражений
Из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения,
деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня, а также с
помощью скобок составляют алгебраические выражения.
Примеры алгебраических выражений:
3à 2  3à  1
1) 2⍺ b–3⍺b (⍺+b); 2) ⍺+b+0,2c; 3)
4
à 1
7)  3



2  õ

 1 1 ñ
; 4)
   
 à á 3
3
; 5)
àá
; 6)
2
2
à3  á3
;
а) Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных
(в частности, возведения в степень с дробным показателем), то оно называется целым. Из написанных выше
целыми являются выражения 1, 2 и 7.
б) Если алгебраическое выражение составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения,
вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления, причём используется
деление на выражения с переменными, то оно называется дробным. Такими являются выражения 3 и 4.
в) Целые и дробные выражения называются рациональными выражениями. Так, из написанных выше
рациональными выражениями являются выражения 1, 2, 3, 4 и 7.
г) Если в алгебраическом выражении используется извлечение корня из переменных (или возведение
переменных в дробную степень), то такое алгебраическое выражение называется иррациональным. Такими
являются выражения 5 и 6.
Значение переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми
значениями переменных. Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения
алгебраического выражения.
Если в алгебраическом выражении переменным придать допустимые значения, то получится числовое
выражение; его значение называется значением алгебраического выражения при выбранных значениях
переменных.
Преобразование
алгебраических выражений



Раскрытие скобок в алгебраической сумме
Алгебраическая сумма – cумма, у которой каждое слагаемое – это
число или выражение.
5⍺ - 12,5b + 3⍺b – 11 – (⍺+b) – алгебраическая сумма слагаемых
5⍺; -12,5b; 3⍺b; -11 и -(⍺+b).
Раскрытие скобок:
1.
⍺ + (b – c + d – e - f) = ⍺ +b – c + d – e - f
«Плюс» перед скобкой
2.
⍺ - (b – c + d – e - f) = ⍺ - b + c – d + e + f
«Минус» перед скобкой
3.
4.
Знаки не изменились
Знаки изменились
⍺ · (b + c)=⍺ · b + ⍺ · c
(b + c) · ⍺ = b · ⍺ + c · ⍺
-3 · (5⍺ - 7b + 4⍺b) = –5⍺ + 21b – 12⍺b;
18 + 4(⍺ · c – b · e) = 18 + 4⍺c – 4be;
6 · (2⍺ – b) – 5(c – 8d – 11) = 12⍺ – 6b – 5c + 40d + 55.
Преобразование
алгебраических выражений


Вынесение общего множителя за скобки
⍺ b + ⍺ c = ⍺ (b + c)
Общий множитель






⍺
⍺ b – ⍺ c = ⍺ (b – c)
Общий множитель
или
⍺
⍺ c + b c = (⍺ + b) c
Общий множитель
или
c
⍺ c – b c = (⍺ – b) c
Общий множитель
с
15 ⍺b – 20⍺ c + 5⍺ = 5⍺(3b – 4⍺c + 1);
–0,988·0,61 + 0988·0,51 = –0,988(0,61 – 0,51) = –0,988·0,1 = –0,0988;
9⍺ + 12⍺ + ⍺ –7,5⍺ = ⍺(9 + 12 + 1 – 7,5) = 14,5⍺;
2x – 3x = (2 – 3)x = –x;
Преобразование
алгебраических выражений



Приведение подобных
Коэффициент – числовой множитель, стоящий перед буквой или
произведением букв.
3⍺; –15xy; 2,2⍺bc
↖
↑
↗
Коэффициенты

–⍺ = –1·⍺;
↖
⍺ = 1·⍺;
5bc · (–2) = –10⍺bc
↑
↗
Коэффициенты


Подобные слагаемые – буквенный множитель один и тот же,
отличаться могут только коэффициенты.
3x + 21y – 0,8x + 2 + √3‾x + ⍺b
↖
↑
↗
Подобные слагаемые




Приведение подобных слагаемых – замена алгебраической суммы
подобных слагаемых одним слагаемым.
5⍺b + 3xy – 6⍺b + 8xy = (5 – 6) ⍺b + (3 + 8)xy = –⍺b + 11xy;
0,1x+3,7–2,5z–2,1x+1,5=(0,1–2,1)x+(3,7+1,5)–2,5z=–2x–2,5z+5,2;
3,1y² – 2,3y + 4,3y² + 1,7y – y² = (3,1 + 4,3 – 1)y² + (–2,3 + 1,7)y = 6,4y² – 0,6y.
Преобразование
алгебраических выражений



Тождества. Тождественные преобразования.
Выражение 1 = Выражение 2 – тождество, если это равенство
выполняется при любых значениях переменных (букв), входящих в
выражения.
При этом говорят, что «Выражение 1» тождественно равно «Выражению 2».
x + 2x + 3 = 3x + 3
верно при любых x – тождество;
3 (⍺b – 17) + 28 – b⍺ = 2⍺b – 23
верно при любых ⍺ и b – тождество;
2x + y = 5 – x – 1,2z верно не при любых x, y и z – не тождество.

Тождественное преобразование – замена выражения тождественно равным ему
выражением.
2 (⍺ – b) – 7 · 3⍺ = 2⍺ – 2b – 21⍺ = –19⍺ – 2b.
Тождественное
преобразование
Тождественное
преобразование
5⍺²b – 80⍺b² – 15⍺b = 5⍺b (⍺ – 16b – 3)
Тождественное
преобразование

Раскрытие скобок, вынесение общего множителя, приведение подобных, перемена мест
слагаемых – примеры тождественных преобразований выражений.
Преобразование
алгебраических выражений


Уравнения
Уравнение (с одной переменой) – равенство, в котором одна
из букв (переменная) является неизвестной и значение
которой нужно найти.
2x + 3 = 5 – x

Левая часть уравнения





Правая часть уравнения
6 (x – 4) + 1,8 (3x + 2) = 15,2 ;
x² – 2⍺ + 3x = b – 7⍺x,
где x – переменная, ⍺ и b – заданные числа.
Корень уравнения – значение переменной, при котором уравнение превращается в верное
равенство.
Решить уравнение – найти все его корни или доказать, что корней нет.
1. 2 (x – 1) + 5 = 9– 4x – корень x = 1.
2. 3 (x – 2) (x + 11) = 0 – корни x = 2 и x = -11.
3. x² = –1 – не имеет действительных корней.
4. |y| = y – корнями являются все неотрицательные действительные числа (y ≥ 0).
Равносильные уравнения – имеют одни и те же корни или не имеют корней.
2
1. 13x – 2x + 5 = 7 равносильно (‹=›) 11x = 2. Их корень x = 11
2. 1,7x – 34 = 0,7x – 5 ‹=› 17x – 340 = 7x – 50. Их корень x = 29.
3. x² + 4 = 0 ‹=› 5,1x² = –123,67. Не имеет корней.
4. x – 2 = 4 неравносильно (‹≠›) x² = 36.
Один корень
x=6
Два корня
x = 6 и x = –6
Преобразование
алгебраических выражений


Тождественные преобразования уравнений
Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением
их знаков на противоположные.
3x + 26 = 32 + x
‹=›
3x – x = 32 – 26
перенос с противоположными знаками
4,8 – 2x – 12 + 3x² = 17,2 – 5x


‹=›
3x² – 2x + 5x = 17,2 – 4,8 + 12
Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же
ненулевое число.
–25,3⍺ + 14,1 = –2⍺ – 16,2 ‹=›
253⍺ – 141 = 20⍺ + 162
↓_________Умножение на – 10α_________↑
20 (y – 14) – 40 = 160 (35 – 3y) ‹=› y – 14 – 2 = 8 (35 – 3y)
↓__________ Деление на 20_________↑
!!! В правой и левой частях уравнения можно выполнять любые тождественные
преобразования выражений – раскрывать скобки, приводить подобные и т.д.
2,3 (5 – 3m) + 2,3 = 7,6 (m – 2) <=>
<=> 23 (5 – 3m) + 23 = 76 (m–2) <=>
<=> 115 – 69m + 23 = 76m – 152 <=>
<=> –69m – 76m = –152 – 115 – 23 <=>
<=> –145m = –290 <=>
m=2
Преобразование
алгебраических выражений


1.
Линейное уравнение
↙
α≠0
Тогда
b
x= a –
единственный
корень
αx=b,
где x – переменная,
α и b - числа
↓
α=0
b=0
Тогда
любое x є R –
корень
↘
α=0
b≠0
Тогда
нет
корней
3 (x - 2) + 5 (7 – x) = 4 <=> 3x – 6 + 35 – 5x = 4 <=>
<=> –2x = 4 + 6 – 35 <=> –2x = –25 <=>
<=> x = 12,5 ― единственный корень уравнения
2. 0,8t – 2 (1,4 – 0,1t) – 2,6 = 3 (t – 1,8) –2t <=>
<=> 0,8t – 2,8 + 0,2t – 2,6 = 3t – 5,4 – 2t <=>
<=> t – 3t + 2t = –5,4 + 5,4 <=>
<=> 0 ∙ t = 0 ― любое действительное число является корнем уравнения.
3. 2y – 15 (4 + y) + 13y = 11 <=>
<=> 2y – 60 – 15y + 13y = 11 <=>
<=> 0 · y = 71 ― уравнение не имеет корней.
Преобразование
алгебраических выражений

Решение текстовых задач с помощью уравнений

1.
2.
3.
4.
5.


Схема решения:
Обозначить буквой одну из неизвестных величин.
Выразить через неё другие величины, используя условие задачи.
Составить уравнение, приравняв выражения для одной и той же
величины, полученные разными способами.
Решить уравнение, применяя тождественные преобразования.
Выполнить проверку решения на соответствие условиям задачи.
1). Найти наименьшее из трёх последовательных натуральных чисел,
если их сумма равна 35.
Решение: Пусть n― искомое натуральное число, тогда n+1 и n+2 ―
последующие за ним натуральные числа.
По условию задачи n + (n + 1) + (n + 2) = 35 <=> 3n = 32 <=> n=10 ∕3.
Но 10 ∕3 R , значит задача не имеет решений (её условие содержит
противоречие).
2). Найти число, 30% которого на 13,5 меньше, чем 75% этого числа.
Решение: Пусть x ― искомое число, тогда
0,3x = 0,75x – 13,5 <=> 0,45x = 13,5 <=> x=30.