Лекция 3. Математические модели сложных сигналов

РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
РТФ
Радиотехнический институт УГТУ – УПИ
Инновационная образовательная
программа
Основы построения
телекоммуникационных
систем и сетей:
краткий курс лекций
Автор курса лекций:
Удинцев Владимир Николаевич, канд. техн.
кафедры ТСС УГТУ-УПИ
Екатеринбург
наук, доцент
2008
2
Основы построения
телекоммуникационных
систем и сетей:
краткий курс лекций
лекция 3
Математические модели
сложных сигналов
Цели лекции:



Знакомство с временным и частотным
представлением сложных сигналов;
Знакомство с основными параметрами и
видами сложных сигналов;
Знакомство с основными понятиями и
терминами.
4
Основные термины






Аналоговый
(непрерывный)
сигнал
– сигнал, описываемый
непрерывной во времени математической функцией, мгновенные значения
которой повторяют (аналогичны) мгновенные значения соответствующей
физической величины.
Векторные сигналы – сигналы, состоящие из множества одномерных или
многомерных сигналов и отражающие их положение в каком-либо n-мерном
пространстве(частный случай многомерных сигналов).
Видеосигнал – сигнал, передаваемый в виде мгновенных значений
постоянного тока или напряжения.
Видеоимпульс – импульс постоянного тока или напряжения.
Электрический импульс – кратковременное отклонение напряжения или
тока от некоторого начального уровня.
Радиоимпульс – отрезок высокочастотного гармонического колебания,
огибающая которого изменяется по некоторому закону (может быть,
например,
прямоугольным,
трапецеидальным,
треугольным,
экспоненциальным, колоколообразным и т. п.).
5
Основные термины







Гармонический сигнал (гармоническое колебание) – моночастотный
синусоидальный аналоговый сигнал.
Данные – сообщение, представленное в алфавитно-цифровой форме.
Детерминированные сигналы – сигналы, мгновенные значения которых
в любой момент времени могут быть предсказаны с вероятностью близкой к
единице и возможна их полностью идентичная повторная реализация в
любой момент времени.
Дискретные сигналы – непрерывные по уровню, но дискретные по
времени сигналы (информационный параметр может принимать бесконечно
большое число значений).
Линейные сигналы – сигналы, распространяющиеся по линии связи.
Многомерный (векторный) сигнал – сигнал, описываемый функцией
нескольких переменных, как правило, времени и пространственных
координат, либо состоящий из множества одномерных сигналов и
отражающий их положение в каком-либо n-мерном пространстве.
Одномерный сигнал – сигнал, описываемый функцией одной
переменной, как правило, времени.
6
Основные термины




Амплитудный спектр сложного сигнала – совокупность амплитуд An,
простых гармонических сигналов (гармоник) кратных основной частоте ω1
частот nω1 (n = 1, 2, 3, …), полученных при его аппроксимации и
отложенных в функции частоты.
Фазовый спектр сложного сигнала – совокупность начальных фаз φn
простых гармонических сигналов (гармоник) кратных основной частоте ω1
частот nω1 (n = 1, 2, 3, …), полученных при его аппроксимации и
отложенных в функции частоты.
Эффективная полоса частот сигнала (условная полоса реализации) –
ограниченная сверху полоса частот, необходимая для высококачественного
восстановления исходного сигнала (на практике обычно ограничиваются
полосой частот, содержащей не менее 90% спектра мощности исходного
сигнала).
Энергетический спектр сигнала – совокупность мощностей простых
гармонических сигналов (гармоник) кратных основной частоте ω1 частот
nω1 (n = 1, 2, 3, …), полученных при его аппроксимации и отложенных в
функции частоты.
7
Основные параметры
импульсных сигналов






Электрические импульсы могут быть одиночными и повторяющимися.
Т – период повторения импульсов;
tи – длительность импульса по заданному уровню. Длительность
импульса по уровню 0,5Um называют активной.
tп – длительность паузы – время отклонения напряжения или тока от
уровня большего 0,5Um до первого пересечения с уровнем 0,5Um;
Um – амплитуда импульса;
U0 – начальный уровень.
8
Основные параметры
импульсных сигналов









Периодическая последовательность видеоимпульсов характеризуется
длительностью импульса tи,
длительностью паузы tп,
периодом повторения Т,
частотой повторения F = 1/T,
скважностью импульсов Q = T/tи и
коэффициентом заполнения (относительной
импульса) γ = tи / T = 1/Q.
длительностью
Периодическую последовательность прямоугольных импульсов, у которой
длительность импульсов tи равна длительности паузы tп (Q = 2), принято
называть меандром.
Радиоимпульсы имеют те же параметры, но отличаются от
видеоимпульсов высокочастотным заполнением простым гармоническим
сигналом с изменением его амплитуды по огибающей видеоимпульса. Это
изменение называется амплитудной модуляцией или манипуляцией
высокочастотного колебания.
9
Основные параметры
импульсных сигналов

Реальные видеоимпульсы имеют форму, отличающуюся от
рассмотренных идеализированных импульсов, и характеризуются
следующими параметрами:
10
Основные параметры
импульсных сигналов











U0 – начальный уровень;
Um – амплитуда импульса;
tф – длительность фронта (длительность переднего фронта, время
нарастания) – время отклонения напряжения или тока от уровня 0,1Um до уровня
0,9Um;
tдв – длительность вершины – время изменения напряжения или тока выше
уровня 0,9Um;
tс – длительность среза (длительность заднего фронта)– время отклонения
напряжения или тока от уровня 0,9Um до уровня 0,1Um;
tов – длительность обратного выброса (длительность хвоста) – время
отклонения напряжения или тока от уровня 0,1Um до последнего пересечения с
уровнем ±0,1Um;
U – скол вершины импульса, оценивается или в вольтах или в процентах от
амплитуды импульса Um;
Uов – амплитуда обратного выброса;
Uв – амплитуда выброса на вершине импульса;
tв – длительность выброса на вершине импульса;
tи – длительность импульса по заданному уровню. Длительность импульса по
уровню 0,5Um называют активной.
11
Сложные сигналы и их
аппроксимация




В теории электросвязи широко применяются два способа
математического
и
физического
представления
сигналов:
временной и спектральный.
Сложные сигналы обычно аппроксимируют с помощью ряда
Жана Баптиста Фурье, совокупностью ряда гармонических
составляющих (гармоник), т. е.
простыми сигналами
(базисными функциями), поскольку математически доказано,
что при фиксированном числе слагаемых ряда, тригонометрический
ряд обеспечивает наилучшую аппроксимацию формы сложного
сигнала (Д. Бернулли, Л. Эйлер, А. Клеро, П.Г. Дирихле, А.Н.
Колмогоров).
Эту совокупность принято называть частотным спектром этого
сложного сигнала.
Анализ сложных сигналов существенно упрощается, если для их
аппроксимации выбрана система базисных функций, обладающая
свойством ортонормированности (ортонормированный базис).
12
Ортогональные и
ортонормированные сигналы

Функции fi(t) и fk(t) ортогональны на интервале времени t2 – t1,
при условии, что ни одна из этих функций тождественно не равна
нулю на этом интервале, если для них справедливо равенство:
1
t2  t1

t2
 f (t ) f
i
k
(t )dt  0
t1
Если для любой пары функций ортогональной системы выполняется
условие:
1
t2  t1
t2

t1
1, i  k
fi (t ) f k (t )dt  
0, i  k
то данная система функций ортонормированна (нормирована к 1).
13
Обобщенный ряд Фурье

В наиболее общем виде ряд Фурье записывается как:

u (t )   cn f n (t )
n 0
где сn – некоторые постоянные коэффициенты, а n = 0, 1, 2, ….
Для разложения с помощью этой формулы используются
различные базисные полные системы ортогональных функций:
тригонометрические, комплексные, экспоненциальные, функции
отсчетов, различные ортогональные полиномы, функции Уолша и
др. Но, независимо от вида системы ортонормированных функций
fn(t), это выражение называется обобщенным рядом Фурье.
14
Ортонормированный базис
тригонометрических функций

Если выбрать для разложения в ряд Фурье напряжения сложного
периодического сигнала ортонормированный базис тригонометрических функций вида (ортогонален на интервале от –π до +π):
f 0 (t )  1, f1 (t )  2 cos ω1t , f 2 (t )  2 sin ω1t , f3 (t )  2 cos 2ω1t ,
f 4 (t )  2 sin 2ω1t , ........... f k 1  2 cos n ω1t , f k  2 sin n ω1t ....
где ω1 = 2π/Т – частота следования импульсов, то тогда
коэффициенты разложения с1, с3, с5 … будут представлять собой
эффективные значения напряжений для косинусных, с2, с4, с6 …–
для синусных составляющих соответствующих гармоник ряда, а с0
– значение его постоянной составляющей.
15
Тригонометрический ряд
Фурье

Обычно множители
относят к коэффициентам разложения и
тригонометрическую форму ряда Фурье записывают в виде:
a0 
u (t )    (an cos nω1t  bn sin nω1t )
2 n 1

В этом выражении первый член ряда есть постоянная
составляющая, определяемая как среднее за период Т
T
значение:
a0
1

2
T
2
 u (t )dt
T
2
16
Коэффициенты разложения
тригонометрического ряда Фурье

Коэффициенты разложения (амплитудные значения напряжений
гармоник) для косинусоидальных и синусоидальных составляющих определяются по формулам Эйлера-Фурье как:
T
2
an 
T
 u (t ) cos nω tdt
1
T
T
2
bn 
T
2
2
2
 u (t ) sin nω tdt
1
T
2
17
Разновидности
тригонометрического ряда Фурье

Используя формулы половинных углов, тригонометрическую форму
ряда Фурье можно записать в двух, более удобных для анализа,
видах:

u (t )  A0   An cos(nω1t  n ),
n 1

u (t )  A0   An sin( nω1t  n )
n 1

a0
2
2
A

a

b
здесь
n
n – амплитуда, а φn = - arctg (bn/an)
2, n
– начальная фаза n -ной гармоники сложного сигнала.
2
Частоту
.
называют основной частотой.
 =
A0 
1
T
18
Амплитудный и фазовый спектры
периодического сигнала

Совокупность амплитуд an, отложенных в функции частоты, образует амплитудный спектр сигнала s(t). Совокупность
начальных фаз φn, отложенных в функции частоты, образует
фазовый спектр сигнала s(t). Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала являются дискретными или
линейча-тыми.
Амплитудный
спектр
имеет
размерность
амплитуды (В, Вт).
19
Эффективная полоса частот
сигнала

Можно доказать, что у реальных сигналов в полосе частот ΔF,
называемой условной полосой реализации или эффективной
полосой частот данного сигнала, заключена подавляющая доля
его энергетического спектра. Выбор величины эффективной полосы
частот достаточно сложен и на практике ее ограничивают 90%
спектра мощности исходного сигнала. Если обозначить номер самой
низкочастотной гармоники nмин, а высокочастотной nмакс, то
эффективная полоса частот сигнала определяется как:
ΔF = (nмакс - nмин)/Т,
где Т – его период.
20
Контрольные вопросы







Назовите основные параметры периодической последовательности
видеоимпульсов.
Назовите основные параметры одиночного видеоимпульса.
Что такое "условная полоса частот реализации сигнала"? Как она
определяется?
Как выбрать ортонормированный базис тригонометрических функций для аппроксимации сложного сигнала?
Дайте определение термину "многомерный сигнал".
Дайте определение термину "амплитудно-частотный спектр
сигнала".
Дайте определение терминам "случайный" и "детерминированный"
сигнал.
21
Информационное обеспечение
лекции
Список литературы

Гаранин М.В. и др. Системы и сети передачи информации:
Учеб. пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 2001. – 336
с.:ил.

Атабеков, Г.И. Основы теории цепей : учебник для вузов /
Г.И. Атабеков. – 2-е изд., испр. – СПб. : Лань, 2006. – 432 с.


Новиков, Ю.Н. Электротехника и электроника. Теория цепей
и сигналов, методы анализа : учебное пособие /
Ю.Н. Новиков. – СПб. : Питер, 2005. – 384 с.
Новгородцев, А.Б. Теоретические основы электротехники. 30
лекций по теории электрических цепей : учебное пособие /
А.Б. Новгородцев. – 2-е изд. – СПб. : Питер, 2006. – 576 с.
22
Конец фильма
Спасибо за внимание!