Геометрический смысл производной.

•Знать правила дифференцирования функций
•Знать уравнение касательной к графику функции
в заданной точке
•Знать геометрический и физический смысл производной
•Уметь составить уравнение касательной к
графику функции в заданной точке
•Находить тангенс угла наклона касательной
•Находить угловой коэффициент касательной
1. Организационный момент
2. Устная работа
2. Устная работа
Задание
f (x0)
x0
Какая прямая называется
касательной к графику функции?
Какая из отмеченных точек
является точкой касания ?
Определите ее координаты ?
Запишите уравнение касательной к
графику функции в заданной точке
в общем виде ?
Чему равен угол наклона касательной
к графику функции в заданной точке ?
Как определяется тангенс угла наклона
касательной ?
Как находится угловой коэффициент
касательной?
Известно, что угловой коэффициент
касательной к графику функции в точке
= 0,6 .Чему равно значение
производной в этой точке ?
с абсциссой X0
Касательная к графику функции f (x)
в точке с абсциссой x0 образует
С положительным направлением
Оси OX угол 450 . Найти f’ (x) в
Этой точке ?
• Вычислить f (x)
•Найти f’(х)
•Вычислить f’(x0)
•Записать в общем виде уравнение
касательной y = f (x0) + f ’(x0)(x - x0)
и в него подставить заданное значение
x0 и вычисленные значения f (x0) и f ’(x0).
Затем полученное уравнение
преобразовать к виду y = k x + b
«Если продолжить одно из
маленьких звеньев
ломаной, составляющей
кривую линию, то эта
продолженная таким
образом сторона будет
называться касательной к
кривой.»
КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ.
- это угловой коэффициент касательной.
Р1
Р
УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ.
Прямая проходит через начало
координат и точку Р(3; -1). Чему
равен ее угловой коэффициент?
 1  3k
1
k 
3
НАЙДИТЕ УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРЯМЫХ:
2
1
1
4
2
3
3
4
При х  0 угловой коэффициен т секущей  к угловому
коэффициен ту касательной.
y
y  f (x)
y
 tg  k
x
Р1
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y
y

0
y  kx  b
Р
х0

х 0х
х
х
Секущая стремится занять положение касательной.
касательная есть предельное положение секущей.
То есть,
y
y  f (x)
y

0
х0
х
0
х
х
Угловой коэффициент касательной можно найти как
предел выражения:
f ( x )  f ( x0 )
k ( x)  lim
x x
x  x0
0
y  f (x)
y
y
 tg  k
x
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y
y  kx  b
y
Обозначение:

0
х0
х
0 х
х
f (x)
Производной функции f ( x) в точке х0 называется
f ( x)
число, к которому стремится отношение
при х  0.
x
y
y  f (x)
f ( x)  tg  k
y  kx  b
y

0
х0
х
0
х
k – угловой
коэффициент
прямой(касательной)
х
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке равна угловому
коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в
этой точке.
y
y  f (x)
В
y
 tg  k
x
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y
y  kx  b
А
1
0
х0

х
f ( x0 )  tg1
х
х 
Геометрический
производной.
Производная
откфункции
в
yй0смысл
При х 
угловой
коэффициен
тх0секущей

угловому
Производно
функции
f
(
x
)
в
точке
называется
tg точке
k  равна
 угловому
f ( x0 ) (производно
й откасательной,
f ( x) в точке х0 .
данной
коэффициенту
x ту касательной.
коэффициен
f ( x)
проведенной
к
графику
функции
в
этой
точке.
число, к которомупри
стремится
х  0 отношение x при х  0.
ИСААК НЬЮТОН
(1643 – 1727)
«Когда величина является максимальной или
минимальной, в этот момент она не течет ни
вперед, ни назад.»
Свободное падение
2
vср
t
vср  ?
t1
gt
s
2
S t   S t  g t

 
1
t1  t
t
2 t1  t
2
1
g
vср   t1  t 
2
2
2
Свободное падение
gt
s
2
2
t

vср t1 ? t
t1
 v2t g  t
ср
1
 t
2
g
 t1  t  t

gt
t
2
1
Используя слово «предел», можно сказать,
что мгновенная скорость в точке t – это
предел средней скорости при стягивании
отрезка, на котором она изменяется, в
точку t или в символической записи
S (t1 )  S (t )
v(t )  lim
t t
t1  t
1
- это скорость
х
vср. 
t
Δх – перемещение тела
Δt – промежуток времени
в течение которого выполнялось
движение
При t  0 vcр.  к мгновенной скорости v(t ),
следовательно, v(t )  S (t ).
S (t )  v(t )
или х(t )  v(t )
f ( х)  v( x)
.
Пожилова Л.Н.