устранимой точкой разрыва

Точки разрыва функции. Их
классификация
Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности
lim f ( x)  f ( x0 )
x x0
lim f ( x) 
x x0 0
lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0  0
x0 .
Точка разрыва
Определение.
Если
функция f(x) не является непрерывной в точке
x0 ,
то говорят, что
1)f(x) разрывна в этой точке,
2)точка
x0
является точкой разрыва функции f(x).
Устранимая точка разрыва
Если в точке x 0 функция f (x ) имеет пределы справа и слева
 lim f ( x)  lim f ( x),
x x0 
x x0 
в самой точке разрыва функция либо не определена, либо,
если и определена, то
lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 ).
x x0 
x x0 
то такая точка x 0 называется устранимой точкой
разрыва.
x  x0
 f ( x),
F ( x)  
f ( x), x  x0
 xlim
 x0
F (x) -непрерывна в точке
x0 .
| x |, x  0
f ( x)  
x0
1,
Пример.
lim f ( x)  lim f ( x)  0  1  f (0)
x x0 0
x x0  0
y
1

x0
x
точка устранимого разрыва для функции
 f ( x),
F ( x)  
 0,
x0
x0
F ( x) | x | -непрерывна в точке x  0
y
f ( x0 )

lim f ( x)

y  f (x)
x x0
x0
x
y  f (x) -непрерывна на множестве
x  ( x0   1 , x0 )  ( x0 , x0   )
x 0 - устранимая точка разрыва
 lim f ( x)
x x0
Неустранимая точка разрыва
Определение.
Если
lim f ( x)
не существует,
x x0
точка
x0
является
точкой неустранимого разрыва .
Точка разрыва с конечным скачком
Определение.
Если в точке x 0 функция f (x )
1) имеет пределы справа и слева,
2) они не равны lim f ( x)  lim f ( x),
x  x0 
то такая точка
x  x0 
x 0 называется
точкой разрыва функции
f (x )
с конечным скачком функции.
Не важно, равно или нет f ( x0 ) одному из односторонних пределов
Скачок - разность
f ( x0  0)  f ( x0  0)
Пример.
2
f ( x) 
,
1/ x
1 e
lim f ( x)  2
lim f ( x)  0
x 0  0
x0
f (0)  1
x 0  0
точка разрыва с конечным скачком, равным -2.
y
2
1
0
x
Точки разрыва 1-го рода
• точки устранимого разрыва
• точки разрыва с конечным скачком
Функция f (x ) в точке разрыва 1-го рода имеет
конечный предел справа и слева.
 lim f ( x)  B  
x x0 
 lim f ( x)  A  
x x0 
Точки разрыва 2-го рода
Определение.
Если хотя бы один из односторонних пределов
1) не существует
или
2) равен бесконечности,
то в этой точке у функции разрыв II – го рода.
Примеры.
1
f ( x) 
x
1.
y
x  0,
f (0)  0
lim f ( x)  
0
x 0  0

x
lim f ( x)  
x 0  0
x0
y
точка разрыва 2-го рода
1
2. f ( x)  sin
x
x  0,
f (0)  0
 lim f ( x)
x 0  0
 lim f ( x)
x 0  0
x
x0
точка разрыва 2-го рода
1, x  Q
D( x)  
3. Функция Дирихле
0, x  I
x  R точка разрыва 2-го рода
Непрерывность справа и слева
Определение.
Функция f (x ) в точке x 0непрерывна справа, если
lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0  0
f ( x0  0)  f ( x0 )
Функция f (x ) в точке x 0непрерывна слева, если
lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0 0
f ( x0  0)  f ( x0 )
Непрерывность на отрезке
Определение.
Функция f (x ) непрерывна на интервале (a,b), если
она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция f (x ) непрерывна на отрезке [a,b], если она
1) непрерывна на интервале (a,b);
2) непрерывна справа в точке a;
3) непрерывна слева в точке b.
C[a,b] – множество функций, непрерывных на отрезке [a,b].
C(a,b) – множество функций, непрерывных на интервале (a,b).
Свойства функций,
непрерывных на отрезке
Нули функции
Теорема 18(Больцано-Коши).
Если функция f (x )
1) непрерывна на отрезке [a,b],
2) на концах отрезка имеет значения,
противоположные по знаку,
то функция f (x )
обращается в нуль хотя бы в одной
точке интервала (a,b).
Геометрический смысл теоремы
Больцано-Коши
f ( x )  C[ a , b ]
f (a )  f (b)  0
 c  (a, b) : f (c)  0
y
f (b)
 B(b, f (b))
a
0
f (a)

A(a, f (a))
b x
Доказательство.
ab
Точка  
2
Пусть f ( a )  f (b)  0
делит отрезок [a,b] пополам.
f ( )  0  теорема доказана.
f ( )  0  f (a)  f ( )  0  f (b)  f ( )  0
f (a)  f ( )  0  [a1 , b1 ]  [a,  ]
f (b)  f ( )  0  [a1 , b1 ]  [ , b]
a1  b1
.
Зададим 1 
2
f (1 )  0  теорема доказана.
f (1 )  0  [a2 , b2 ]
[a, b]  [a1 , b1 ]  [a2 , b2 ]  ...  [an , bn ]  ...
ba
lim (bn  a n )  lim n  0
n 
n  2
На концах отрезков функция имеет значения разных знаков.
По лемме Кантора
 !   [a n , bn ]
n
Доказательство.
Докажем, что
f ( )  0.
Пусть f ( )  0.
f ( x)  C[a, b]  непрерывна в точке   [ a, b]
т.14
 U ( ,  )  (a   , a   )
lim a n  lim bn  
n 
n
x  U ( ,  )
 N : [a N , bN ]  (a   , a   )
 f (a N )  f (bN )  0
По построению
f (x ) сохраняет знак
f (a N ), f (bN ) одного знака.
f (a N ), f (bN )
разного знака.
Противоречие.
 f ( )  0 a    b
Замечание.
Требование непрерывности функции
 1,
f ( x)  
 1,
y
Пример.
f (x ) существенно.
1  x  0
0  x 1
1
1
0
1
1
x
Утверждение.
Всякий многочлен нечётной степени с действительными
коэффициентами имеет по крайней мере один
действительный корень.
P2 n 1 ( x)  a 0 x
Пусть
2 n 1
 a1 x
2n
 ....  a 2 n 1
a0  0
При достаточно больших положительных x
P2 n1 ( x)  0
При достаточно больших отрицательных x
P2 n 1 ( x)  0
P2 n1 ( x)
непрерывная функция.
 a  R : P2n1 (a)  0
Промежуточные значения непрерывной
функции
Теорема 19(Коши).
Если функция
f (x )
1) непрерывна на отрезке [a,b],
2) значения f (a)  A, f (b)  B
то
C  [ A, B] (C  [ B, A])   [a, b] : f ( )  C
или
Непрерывная на отрезке [a,b] функция
принимает все промежуточные значения
между её значениями на концах отрезка.
Пусть
Доказательство.
Зададим
A B
C  [ A, B]
 ( x)  f ( x)  C , A  C  B
 ( x)  C[a, b]
 (a)  f (a)  C  A  C  0
 (b)  f (b)  C  B  C  0
По теореме 18
  [a, b] :  ( )  f ( )  C  0
 f ( )  C
1-я теорема Вейерштрасса
Теорема 20.
Если функция
f (x) непрерывна на отрезке [a,b],
то она ограничена на нём.
K  0 : x  [a, b]  | f ( x) | K
Доказательство.
х0  a; b lim f ( x)  f ( x0 )
x x0
  0  f ( x)  f ( x0 )    f ( x0 )    f ( x)  f ( x0 )  
M  max  f ( x0 )   ; f ( x0 ) 
 M  f ( x)  M

f ( x)  M

Точные грани функции
Пусть функция f (x ) определена и ограничена на
некотором множестве Е.
Точной верхней гранью М функции f (x ) на множестве Е
называется
точная верхняя грань множества значений функции
на множестве Е:
M  sup f ( x)
xE
Аналогично, точная нижняя грань m функции
m  inf f ( x)
xE
f (x)
2-я теорема Вейерштрасса
Теорема 21.
Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a,b],
то она достигает на этом отрезке своих
точной нижней и точной верхней граней.
Геометрический смысл теоремы
y

M


m

a

 ,  [a, b] :

b
x
f ( )  m  inf f ( x)
xE
f ( )  M  sup f ( x)
xE
Замечание.
Условие непрерывности на отрезке [a,b] существенно.
y
f ( x)  x
Пример.
f ( x)  C (1,1)
1
f (x ) ограничена на (-1,1)
x
1
Точная верхняя грань не достигается
x0  (1,1) :
1  sup x
x( 1,1)
f ( x0 )  x0  1  sup x
x( 1,1)
Наибольшее и наименьшее значение
Наибольшим значением функции f (x ) на отрезке [a,b]
называется точная верхняя грань функции.
Наименьшим значением функции f (x ) на отрезке [a,b]
называется
точная нижняя грань функции
2-я теорема Вейерштрасса
Теорема 22.
Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a,b],
то на этом отрезке принимает свои наименьшее и
наибольшее значения.
Непрерывность функции (продолжение)
• точки разрыва и их классификация,
• нули функции,
• теорема Коши о промежуточных значениях
непрерывной функции,
• наибольшие и наименьшие значения
функции,
• Теоремы Вейерштрасса.