Системы одновременных уравнений

Системы одновременных
уравнений
Лекция по курсу «Эконометрика-2»
Фурманов К.К.,
кафедра математической экономики и эконометрики
НИУ ВШЭ
Немного истории
Основа рынка - взаимодействие спроса и предложения. Как оценить
кривые спроса и предложения?
Генри Мур (Moore, 1914, 1925):
Спрос:
Pt  1  2Qt   t
Предложение:
Qt   1   2 Pt 1  t
Оценивались по отдельности с
помощью МНК с предварительным
удалением тренда
Для некоторых благ Мур обнаружил положительный наклон кривой
спроса и решил, что сделал открытие.
Его результат не убедил других учёных…
Немного истории (2)
Положительная зависимость объёма от цены – скорее кривая предложения…
(R.A. Lehfeldt, P.G. Wright)
Движение кривой спроса при неподвижном предложении приводит к
положительной статистической связи между ценой и объёмом.
Немного истории (3)
А если движутся обе кривые, то статистическая связь не отражает ни
одну из них!
Картинка из работы (Wright, 1928), скопирована из статьи (Stock, Trebbi, 2003)
Немного истории (4)
Вывод: данных о ценах и объёмах недостаточно для
определения спроса и предложения!
ЧТО ДЕЛАТЬ?
Включить в модель дополнительные переменные.
Система уравнений «спрос»-«предложение»
Модель равновесия на рынке скворечников:
Qt  1   2 Pt  3Yt   t ,

 Qt   1   2 Pt   3Wt  t .
- спрос
- предложение
Q – объём производства/потребления скворечников,
P – цена скворечника,
Y – доход потребителя,
W – цена древесины.
Мы считаем, что наблюдаются состояния равновесия, так что
производство и потребление совпадают.
Система призвана определять равновесие (P,Q) при заданных значениях Y
и W.
P и Q – эндогенные переменные (определяемые внутри модели),
Y и W – экзогенные переменные (задаваемые извне).
Система уравнений «спрос»-«предложение» (2)
Экзогенные переменные будем считать детерминированными,
эндогенные – случайными.
В обычной регрессионной модели одна эндогенная переменная
(объясняемая величина) и множество экзогенных (регрессоры).
Решим нашу систему относительно P и Q:
 2 3
 2 (t   2 t )
 2 1  1 2
 2 2

Q


Y

W

,
t
t
 t












2
2
2
2
2
2
2
2


 P  (   )   2 Y   3 W   t   2 t   t  .


1
1
t
t
 t










2
2
2
2
 2 2
2 

(хорошо бы проверить, легко мог ошибиться)
Запись системы, в которой левая часть уравнений включает только
эндогенные переменные, а правая - только экзогенные, называется
приведённой формой системы одновременных уравнений.
Первоначальная запись (уравнение спроса + уравнение предложения)
называется структурной формой СОУ.
Система уравнений «спрос»-«предложение» (3)
P коррелирует со случайными ошибками в обеих уравнениях =>
смещение и несостоятельность оценок МНК для коэффициентов
уравнений исходной системы.
Кстати, в прикладной статистике эндогенностью часто называется
именно корреляция объясняющей переменной со случайной ошибкой.
ЧТО ДЕЛАТЬ?
Можно оценить коэффициенты приведённой формы с помощью МНК (в
ней нет проблем с эндогенными объясняющими переменными), а из них
получить коэффициенты структурной формы.
Это - косвенный метод наименьших квадратов (Tinbergen, 1930).
Полученные таким образом оценки состоятельны, если состоятельны
оценки МНК для коэффициентов приведённой формы.
Система уравнений «спрос»-«предложение» (4)
Допустим, мы оценили приведённую форму:
Qˆ t  100  0.3Yt  0.2Wt ,

 Pˆt  5  0.4Yt  0.4Wt .
Отсюда можно вывести спрос и предложение на рынке скворечников:
 Qˆ t  97.5  0.5Pt  0.5Yt ,

Qˆ t  103.75  0.75 Pt  0.5Wt .
- спрос
- предложение
Подумайте:
- Как бы вы интерпретировали коэффициенты структурной формы? А
приведённой?
- Какая форма вид модели кажется вам более привязанной к реальным
данным? Более осмысленной с точки зрения экономической науки?
Система уравнений «спрос»-«предложение» (5)
А если выразить коэффициенты структурной формы не получится?
Ведь система уравнений может не иметь решений или иметь их
бесконечное множество!
Что ж, есть и другие подходы:
- двухшаговый метод наименьших квадратов (он же – метод
инструментальных переменных), включающий косвенный МНК как частный
случай.
- метод максимального правдоподобия,
- метод фиксированной точки,
- и мало ли что ещё.
Двухшаговый МНК
(метод инструментальных переменных)
Описан в работе Филипа Райта «The Tariff on Animal and Vegetable
Oils» (Wright, 1928).
Пусть нужно оценить уравнение Yi  1  2 X 2,i  3 X 3,i  ...  k X k ,i   i ,
~
где X 2 - эндогенная величина, а все остальные объясняющие
переменные экзогенны (можно рассмотреть и случай нескольких
эндогенных переменных).
Пусть имеется набор инструментальных переменных Z 2 ,..., Z p,
удовлетворяющих условиям:
~
1) тесно коррелируют с X 2,
2) не коррелируют с  ,
3) включают хотя бы одну переменную, не входящую в набор
X 3 ,..., X k .
Двухшаговый МНК (2)
(метод инструментальных переменных)
Шаг 1.
МНК
ˆ
X 2,i  1   2 Z 2,i  ...   p Z p ,i  ui  X 2,i
~
Прогнозы будут близки к истинным значениям X 2 , но при этом
~
окажутся не эндогенными (т.к. инструменты тесно коррелируют с X 2 ,
но не с  ).
Шаг 2.
МНК
ˆ
Yi  1   2 X 2,i  3 X 3,i  ...   k X k ,i   i  1IV ,...,  kIV
(IV – instrumental variables).
Двухшаговый МНК (3)
(метод инструментальных переменных)
Оценки 1 ,...,  k состоятельны (при некоторых условиях – см.,
например, Магнус-Катышев-Пересецкий).
IV
IV
Особым образом нужно рассчитывать стандартные ошибки
(посчитанные обычным способом на втором шаге некорректны, не
учитывают, что на втором шаге в уравнение подставлен прогноз
эндогенной переменной, а не её реальное значение).
Откуда брать инструменты?
Использовать экзогенные переменные из различных уравнений
оцениваемой системы!
Пример: рынок вина в Австралии
По ежегодным данным о винной промышленности в Австралии за
1955-1975 годы оценивается система:
 ln Qi  1   2 ln Pi w   3 ln Pi b   4 ln Ai   5 ln Yi   i  спрос

w
ln
Q




ln
P
 предложение
i
1
2
i   3 ln Ai   4 ln Si  i

Q – индекс потребления вина на душу населения,
Pw – индекс цен на вино по отношению к ИПЦ,
Pb – индекс цен на пиво по отношению к ИПЦ,
A - реальные подушевые затраты на рекламу,
S - индекс издержек хранения.
Оценка уравнения спроса с помощью МНК:

ln Qi   23.65 1.15 ln Pi w  0.27 ln Pi b  0.60 ln Ai  3.21ln Yi
( 3.91)
( 0.29)
( 0.61)
( 0.45)
( 0.71)
Коэффициент при цене вина положителен и значим (p-value=0.001)!
Пример: рынок вина в Австралии
Оценим уравнение спроса двухшаговым МНК, взяв в качестве
инструментов все экзогенные переменные системы.
1 шаг.

ln Pi w  4.32  0.20 ln Pi b  0.60 ln Ai  2.13 ln Yi  0.58 ln Si , R 2  0.785
2 шаг.


ln Qi   26.19 0.64 ln Pi w  0.14 ln Pi b  0.99 ln Ai  4.08 ln Yi
( 4.46)
( 0.57 )
( 0.59)
( 0.56)
(1.07 )
Стандартные ошибки посчитаны «по-правильному», с поправкой
на двухшаговость.
Коэффициент при цене вина положителен, но хотя бы незначим
(p-value=0.256).
Единственный фактор, значимый на уровне 5%, это доход. На
уровне 10% - ещё и реклама (но со странным знаком). Не ахти
какой прогресс…
Другие виды систем уравнений
• «Будто бы несвязанные регрессии» (Seemingly Unrelated
Regressions – SUR),
• Модель Хекмана (её вы уже проходили),
• Многомерная пробит-модель (система уравнений бинарного
выбора),
• Множественная логит-модель (multinomial logit – тоже
проходили),
• Много чего можно придумать…
НА СЕГОДНЯ ВСЁ!