ДИНАМИКА ТОЧКИ ЛЕКЦИЯ 7: ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ (продолжение) 1. Движение вдоль орбиты. Уравнение Кеплера a p 1 2 OO1 d 2c 2c 2 2 2 1 cos dt r p d Закон площадей p 1 2 a O1 A1 E r B O A p2 t t0 2c 1 cos 0 Замена переменных E a cos E r cos OO1 p p cos p cos E 1 2 1 cos 1 2 1 2 cos 1 cos E 1 cos 1 cos 1 cos 2 2 cos 1 cos sin cos E dE 1 d 2 1 cos cos E 2 1 d 1 cos 1 cos 2 2 эксцентрическая аномалия cos 1 cos 1 2 sin sin E 1 cos cos E 1 1 cos E dE 2 3/ 2 d 1 cos 2 2. Движение вдоль орбиты. Уравнение Кеплера E n t t0 1 cos E dE E sin E n 0 n t t0 E sin E Период обращения E 2 T 2c 1 2 3/ 2 p2 Уравнение Кеплера 2 n 2 t t0 E sin E T T p2 c 1 2 3/ 2 3. Задача двух тел: движение одного тела относительно другого d 2r1 mm r m1 2 f 1 2 2 dt r r M1 d 2r2 mm r m2 2 f 1 2 2 dt r r 2 r F2 r1 d r d r m m (m m2 ) r m1m2 22 21 f 1 2 21 dt r r dt 2 F1 M2 z r2 (m1 m2 ) r d r f dt 2 r2 r 2 O y x Материальная точка M2 движется относительно M1 как вокруг неподвижного центра с массой m m1 m2 Пренебрежение меньшей массой вносит в расчеты малую погрешность при m c f M c f M m f M 1 Солнце-Земля m M 3 106 3 Солнце-Юпитер m M 10 m M M 4. Задача двух тел: движение относительно центра масс d 2r1 d 2r2 m1 2 m2 2 0 dt dt 1 rC m1r1 m2r2 m dr1 dr m2 2 m A dt dt r1 drC 1 dr1 dr2 M 1 F1 vC m2 m1 C dt m dt dt m1 vC A d 2r1 m1m2 m1 2 f 2 dt r1 r2 d 2r2 m1m2 m2 2 f 2 dt r r 1 2 r1 r1 r2 r2 d 2r1 m22 m1m2 r1 m1 2 f 2 2 dt r m m 1 2 1 r1 d 2r2 m12 m1m2 r2 m2 2 f 2 2 dt r m m 1 2 2 r2 r1 m2 r2 m1 r2 F2 M 2 m1 m2 r1 m2 m m2 r1 r2 1 r2 m1 r1 r2 Движение каждой точки относительно центра масс происходит как движение относительно неподвижного притягивающего центра 5. Задача двух тел: картина движения Траектории – софокусные подобные эллипсы. Отношение их размеров равно отношению масс тел M1 C M2 M2 M1 C Земля-Солнце M1C 2 108 3 106 600км RC 6 105 км Неподвижный центр глубоко внутри Солнца 6. О задаче трех тел Задача трех тел: В пустоте находятся три материальные точки, взаимодействующие по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы начальные положения и скорости точек. Требуется найти положения всех точек как функции времени. Ограниченная задача трех тел состоит в изучении движения точки малой массы под действием притяжения двух конечных масс в предположении, что точка малой массы не влияет на движение точек конечных масс. В ограниченной задаче трех тел точки конечных масс движутся по орбитам, определяемым задачей двух тел, так что движение этих двух точек известно. Таким образом, анализ ограниченной задачи трех тел сводится к исследованию движения только одной точки малой массы. Эта задача значительно проще общей задачи трех тел. Но и она не интегрируется (точнее, не проинтегрирована) в квадратурах. 7. Пример: олимпиадная задача 2007 г. Две материальные точки М1 и М2 с одинаковыми массами m, соединенны пружиной жесткостью с. Длина недеформированной пружины l. Условие разрыва пружины М1М2 =L (L>l). Вначале пружина недеформирована. Точка v0 М1 получает начальную скорость под острым углом к М1 М2. Начальная скорость М2 равна нулю. Какой должна быть v0, чтобы через некоторое время произошел разрыв пружины. v0 1) Задача сводится к исследованию движения М1 при закрепленной М2 с пружиной удвоенной жесткости - d 2r1 r r m 2 c r1 r2 l 1 2 dt r1 r2 d 2r2 r1 r2 m 2 c r1 r2 l dt r1 r2 d 2r r m 2 2 c r l dt r r r1 r2 M2 M1 8. Пример: олимпиадная задача 2007 г. 2) Силовое поле центральное, поэтому справедлив закон площадей rv const lv0 lv0 sin 3) Закон сохранения энергии m 2 m 2 2 v c r l const v0 0 2 2 v0 vкрит 4) При критическом значении v0 имеем r L, vr 0 v v Lv lv0 sin m 2 m 2 2 v c L l v0 2 2 v0 2c m v0 vкрит L( L l ) L2 l 2 sin 2 v0 vкрит L 9. Движение в поле тяготения Земли A O v0 M Сила притяжения на поверхности Земли R 0 P v02 cos2 p g c2 Fr m R2 mg gR 2 Постоянные площади и энергии Орбита r p 1 cos c Rv0 cos v02 v02 e gR 2 R 2 v02 cos2 2 1 2 2 e 1 v0 2 gR 2 2 g R c2 Тело, получившее начальную скорость v0 2 gR , направленную под любым углом к горизонту, будет неограниченно удаляться от Земли, При начальной скорости v0 2 gR брошенное тело или превращается в искусственный спутник Земли, или падает обратно на Землю. Вторая космическая скорость vII 2 gR 11.2 км/с 10. Искусственные спутники A O P v0 rR M R 0 p p 1 cos 1 cos 0 M -перигей 0 0 0 2 p v02 R v02 1 1 1 0 2 gR gR v xp v0 gR vI vII 2 Первая космическая скорость Чтобы тело, брошенное с земной поверхности, превратилось в искусственный спутник Земли, необходимо выполнение двух условий 0 , vI v0 vII Практически для запуска ИСЗ используется ракета, которая поднимает спутник на высоту H и сообщает ему в пункте М скорость v0 под углом горизонту к 0 v0 vmin vmin v0 v1 v0 H v0 v1 v1 v0 v2 v2 2v1 R v1 gR RH vmin v1 2R 2R H 11. Эллиптические траектории A v0 M1 O r v02 cos 2 p g M R 0 Дальность полета Оптимальный угол 5 /12 v02 2 gR 0.4 v02 D 2 R 2 gR tg sin 2 2 cos 2 tg 0 tg tg 0 F ( ) 2 cos 2 2sin 2 tg 0 ctg 2 tg /3 /4 /6 v0min 2 gR 0.3 /12 0.2 4 2 sin 1 sin / 40 0.1 настильные тр-ии навесные тр-ии 0 v02 cos2 2 1 v0 2gR g 2 R2 v02 cos2 cos 0 1 gR v02 cos 2 sin 0 tg gR v02 cos 2 tg tg gR v02 cos 2 P 0.5 p 1 cos 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Бухгольц I (изд. 1965 г.) с.400-402