I. Состояния с фиксированной энергией для частицы в

Квантовая теория
Семестр I
Журавлев В.М.
Лекция V
Стационарное уравнение
Шредингера
Законы сохранения
классической механики
должны воспроизводится в
аналогичных условия в
квантовой теории!
Состояния с
фиксированной энергией
Как вычислить состояния с
фиксированной энергией?
I. Состояния с фиксированной
энергией для частицы в
потенциальном поле
2
p
H ( p, x ) 
 U ( x)
2m
2
pˆ
ˆ
H  H ( p, x ) 
 U ( xˆ )
2m
Состояние с фиксированной энергией ΨE
Hˆ E  EE
I. Состояния с фиксированной
энергией для частицы в
потенциальном поле
Уравнение
состояний
с
В состоянии
Ψдля
классическая
энергия
E
фиксированной
энергией в
совпадает с квантовой
потенциальном поле сил
ˆ
E

H

(

,
H
E )  E
называется
стационарным
кл
E
уравнением
Шредингера!
Уравнение для Ψ
E
 

E  U ( x)E  EE
2
2m x
2
2
II. Уравнение Шредингера
Пример.
Уравнение Шредингера для частицы в
пустом пространстве
U ( x)  0
 



E

E
E
2
2m x
2
2
II. Уравнение Шредингера
Решение уравнения Шредингера для
частицы в пустом пространстве

2
E  k E  0
2
x
2
2mE
k  2

p
k

2
E  C1e
p
i x

 C2e
p
i x

Граничные условия и
типы движений
Как частица движется на
бесконечности?
II. Классификация движений
1. Движение частицы называется
финитным, если частица движется в
любой момент находится в заданной
ограниченной области пространства,
которая называется потенциальной
ямой
a  x(t )  b,
pa  p(t )  pb
II. Классификация движений
2. Движение частицы называется
ифинитным, если координата частица
асимптотически стремится к
бесконечности
  x  
Диаграмма потенциальной энергии.
финитное и инфинитное движения
III. Финитное движение
В случае финитного движения
вероятность обнаружения частицы
на бесконечном удалении от
потенциальной ямы равна нулю!
 ( x, t )  0 x  
III. Инфинитное движение
В случае инфинитного движения на
бесконечном удалении от области
взаимодействия частица ведет себя
как свободная и описывается
состоянием с фиксированной
энергией в пустом пространстве!
( x, t )  ae
p
i x

 be
p
i x

, x  
III. Полуинфинитное движение
В случае полуинфинитного движения
используются оба типа граничных условий.
В подбарьерной области волновая функция
убывает на бесконечности, а в
надбарьерной – стремится к волне
Де Бройля
Диаграмма потенциальной энергии.
Полуинфинитное движение
 ( x)  0, x  
 ( x)  ae
p
i x

 be
p
i x

,x 
IV. Постулат непрерывности
Все состояния квантовой системы
описываются всюду
непрерывными функциями
координат и времени!
 ( x  0)   ( x  0), x  [, ]
IV. Бесконечный энергетический
барьер
Вероятность частицы пересечь
бесконечный энергетический
барьер равна нулю!
Бесконечно глубокая яма.
Постановка задачи.
 
ˆ
H 
2
2m x
2
2
2
2
E  k E  0
2
x
k2 
2mE
0
2

k
p
0

(0)  0, (a)  0
E ( x)  A sin( kx)  B cos kx, 0  x  a
Бесконечно глубокая яма.
Собственные энергии.
E ( x)  A sin( kx)  B cos kx, 0  x  a
E (0)  B  0, (a)  A sin( ka)  0
akn   n  дискретный спектр

 n
2
En 
kn 


2m
2m  a 
2
2
2
Бесконечно глубокая яма.
Собственные функции.
n
n ( x)  A sin 
 a

x ,

0 xa
a
 |  ( x) | dx  1.
2
n
0
| A|
2
2  n 
| A |  sin 
x dx 
2
 a 
0
a

| A |2
 2 n  
0 1  cos a x  dx  2 a  1
2 a
Бесконечно глубокая яма.
Сводка результатов.
n ( x) 
2
n 
sin 
x ,
a
 a 
0 xa

 n
2
En 
kn 


2m
2m  a 
2
2
2
Бесконечно глубокая яма.
Сводка результатов.
Бесконечный энергетический барьер.
Постановка задачи.
 
ˆ
H 
2
2m x
2
2
2
2


k
E  0
E
2
x
k2 
2mE
0
2
k
p
0

(0)  0,
( x)  ae  be
x  
ikx
ikx
,
Бесконечный энергетический барьер.
Собственные энергии.
ikx
( x)  Ae  Be , x  0
ikx
a  A, b  B,  (0)  A  B  0
k  любое  непрерывный спектр
2
 2
E
k
2m
Бесконечный энергетический барьер.
Собственные функции.
(k , x)  2iA sin kx,
0
4| A|
2
xa
 sin( kx) sin( k ' x)dx   (k  k ' ).

Другая нормировка
A 1
Бесконечный энергетический барьер.
Собственные функции.
Задача о рассеянии.
Общая постановка задачи.
Постулаты
конструирования
состояний
Как вычислить волновую функцию?