Периодические функции

Периодические
функции
Алгебра
Выполнила: ученица 10 «Г» класса
МОУ гимназия №2 Квантор
Чубарцева Кристина
Учитель: Кузьмичева Татьяна
Дмитриевна
Математика – одна из древнейших
наук. За долгую историю своего
существования она знала периоды
расцвета и длительного застоя. В наши
дни
эта
наука
развивается
исключительно быстро.
Чрезвычайно
расширились
связи
математики с другими науками. Теперь
она с успехом используется и в таких
областях научного знания, о которых
ещё недавно думали, что они не
допускают внедрения математических
методов. Такое мнение существовало о
биологии, медицине, языкознании и
некоторых отраслях общественных
наук.
Возможности использовать математику
для решения практических задач
промышленности, сельского хозяйства
и транспорта ныне представляются
неограниченными.
Они внесли особый вклад в развитие
математики!
А.Н. Крылов
Российский математик,
академик Герой
Социалистического Труда.
Впервые в истории науки
сформулировал один из
принципов вычислительной
культуры.
А.Н. Колмогоров
Л.В. Канторович
Выдающийся советский
математик, ныне
академик, разработал
метод линейного
программирования в 30-х
годах.
Герой
Социалистического
Труда, академик. Создал
новую область
математики -теорию
информации.
В природе и технике часто
встречаются процессы, которые
периодически повторяются по
истечении некоторого
промежутка времени.
Периодические
процессы
Например, если маятник делает одно
полное колебание за Т секунд, то его
отклонение от положения равновесия в
моменты времени t, t+T, t+2T и т.д. будет
одним и тем же.
Периодически с
периодом в 1 год
меняется расстояние
Земли от Солнца.
С периодом
в 1 лунный
месяц
меняются
фазы Луны.
Периодически изменяющиеся величины
описывают с помощью периодических функций.
Определение 1:
Число T называют периодом функции f, если для любого t, при
котором эта функция определена, выполняются равенства
f (t  T )  f (t )  f (t  T )
Заметим, что число 0 является периодом любой функции.
Периодическими являются, например, тригонометрические функции
y= sin x, y=cos x и др.
График периодической функции
y = sin x
y
1
0,5
0
0
-0,5
-1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20 x
Теорема 1.
Если T- период функции f, то –T тоже является
периодом этой функции. Если Т1 и Т2 – периоды f, то
и Т1 + Т2 – период той же функции.
Доказательство.
Первое утверждение вытекает из того, что равенство
f (t  T )  f (t )  f (t  T ) числа T и –Т входят равноправно.
Второе же утверждение следует из того, что
f (t  T1  T2 )  f (t )  f (t  T1 )
и аналогично
f (t  (T1  T2 ))  f (t  Т1  Т 2 )  f (t  T1 )  f (t )
Следствие.
Если Т-период функции f, то при любом целом значении
n число nT также является периодом этой функции.
Доказательство.
Пусть n –натуральное число.
При n=1 истинность следствия вытекает из того, что T
– период функции f.
Если kT –период этой функции, то по второму
утверждению той же теоремы и kT+T=(k+1)T является
ее периодом.
С помощью математической индукции убеждаемся в
справедливости следствия для всех натуральных, а
следовательно, и для всех целых значений n.
Определение 2:
Функцию f называют периодической, если она имеет хотя бы один
отличный от нуля период.
Если Т – положительный период функции f и известен график этой
функции на каком-либо промежутке [a;a+T), то можно получить ее
график на всей числовой оси с помощью параллельных
переносов вдоль оси абсцисс на kT, где k Z. Обычно выбирают

T
a=0 или
a
2
Если функция f постоянна, то любое число является ее периодом.
Можно доказать, что если функция f отлична от постоянной,
непрерывна и периодична, то среди ее положительных периодов
есть наименьший.
Определение 3:
Наименьший положительный период функции называется
основным периодом этой функции.
Пример 1.
Докажем, что функция {x} (дробная часть x) периодична, и найдем ее
основной период.
Решение.
От прибавления к x целого числа дробная часть x не меняется. Поэтому любое
отличное от нуля целое число является периодом функции y={x}. Наименьшим
из положительных целых чисел является 1.
Докажем, что число 1 – основной период функции {x}. Для этого достаточно
показать, что ни одно положительное число T меньшее, чем 1, не может быть
периодом функции y={x}. Но при x=0 имеем {x}=0, а {x+T} = {T} = T  0 (поскольку
0<T<1).
Значит, равенство {x}={x+T} не выполняется при x=0, и поэтому T не
является периодом функции {x}. Это и означает, что основной период
функции y={x} равен 1.
Теорема 2:
Если Т- основной период функции f, то все остальные
периоды той же функции кратны Т.
Доказательство.
В силу теоремы 1 достаточно провести доказательство для
положительных периодов функции f. Если Т1 – такой период, то
он не может быть меньше Т, так как Т-наименьший из
положительных периодов функции f.
Но если Т1Т, то найдется такое натуральное число n,
что nT T1<(n+1)T. Из теоремы 1 и ее следствия
вытекает,
что –nT, а потому и Т1-nT – период функции f.
Но 0  Т1 – nT<Т, а из сказанного выше следует,
что период Т1-nT не может быть положительным и
меньшим, чем Т. Значит, Т1 – nT = 0, т.е. Т1=nT.
Примеры периодических функций
Функция y= [x]=x- {x}, где каждому числу x ставится в соответствие
целая часть.
График функции y = [x]
y
3
2
1
0
-3
-2
-1
-1
-2
0
1
2
3 x
Функция y = {x}, периодическая функция, основной
период которой равен 1.
График функции y ={x}
y
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-3
-2
-1
0
-0,2
1
2
3
x
Функции cos t и sin t – периодические функции
2
В самом деле, точки М(t), N(t+2) и P(t-2) совпадают, а
потому имеют одни и те же координаты. Так как
декартовы координаты точки M(t) равны cos x и sin x и
аналогично для двух других точек, то имеем:
Основной период данных функций равен
cos(t  2 )  cos t  cos(t  2 ),
(1)
sin( t  2 )  sin t  sin( t  2 ).
(2)
График функции y=sin t
-20
График функции y = cos t
y
1
y
0,5
0,5
0
0
-10
1
0
-0,5
-1
10
20
t
-20
-10
0
-0,5
-1
10
20
t
Равенства (1), (2) доказывают, что - один из положительных
периодов функций cos t и sin t. Докажем, что у этих функций нет
положительных периодов, меньших, чем 2 .

В самом деле, если бы Т, где 0<T< 2, было бы периодом для
функции cos t, то при t=0 должно было выполняться равенство
cos T=cos 0=1. Но на координатной окружности есть лишь одна
точка с абсциссой 1, а именно начало отсчета А(0)=А(1;0). Она
соответствует числам вида 2n, n Z. Поскольку 0<T< 2, то Т не
имеет такого вида и потому равенство cos T=1 ложно. Этим
доказано, что функция cos t не имеет положительных периодов,
меньших, чем 2, а потому 2 является основным периодом этой
функции.
Список использованной литературы
1. «Алгебра и математический анализ», Н.Я. Виленкин
2. «Методика построения графиков функций», В.К. Егерев
3. «Математика», В.Л. Минковский